矩阵 · 2.2.4
单位矩阵及其性质
学生要描述单位矩阵，即主对角线元素为1、其余元素为0的方阵，并说明其在乘法中的性质：任何矩阵A乘以与其阶数相符的单位矩阵I后保持不变，即AI = IA = A，如同任何数乘以1一样。
官方学习标准 (2.2.4)
“说明单位矩阵的性质。”
它的含义
学生要描述单位矩阵，即主对角线元素为1、其余元素为0的方阵，并说明其在乘法中的性质：任何矩阵A乘以与其阶数相符的单位矩阵I后保持不变，即AI = IA = A，如同任何数乘以1一样。
如何考查
此标准通常在纸卷一中以简答题形式考查，要求学生写出2×2单位矩阵或验证AI等于A；在纸卷二中则作为较大型矩阵题目中的辅助步骤出现，例如在求出逆矩阵后验证AA⁻¹ = I。
例题
证明对于 A = [[3, 2], [1, 4]] 和2×2单位矩阵I，有AI = A。
- 写出 I = [[1, 0], [0, 1]]。
- 计算第1行：(3×1 + 2×0), (3×0 + 2×1) = 3, 2
- 计算第2行：(1×1 + 4×0), (1×0 + 4×1) = 1, 4
- 所以 AI = [[3, 2], [1, 4]]，与A完全相同。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
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常见问题
SPM中的单位矩阵是否总是2×2的？
在SPM中五的课程中，所涉及的单位矩阵几乎都是2×2的，因为本章主要围绕2×2矩阵展开。一般而言，单位矩阵可以是任意大小，但它必须始终是对角线元素为1的方阵。
单位矩阵有什么用途？
它在矩阵乘法中的作用类似于数字1，任何矩阵与它相乘后保持不变。它对定义逆矩阵至关重要，因为矩阵A与其逆矩阵A⁻¹相乘必须得到单位矩阵I。
计算AI还是IA有分别吗？
没有分别，对单位矩阵而言顺序不影响结果：AI = IA = A，只要A与I的阶数适合相乘即可。这是大多数矩阵配对都不具备的特殊性质。