Tingkatan 5 · Relationship and Algebra
Matriks
Matriks ialah segi empat tepat nombor dengan aritmetiknya sendiri, cara padat untuk mengendalikan banyak data sekaligus.
Apakah Matriks?
Matriks ialah tatasusunan nombor disusun dalam baris dan lajur. Bab ini mengajar operasi asas, penambahan, penolakan, pendaraban dengan nombor dan dengan matriks lain, dan songsang matriks 2×2, yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan serentak.
Standard kandungan (DSKP)
DSKP KSSM menetapkan standard kandungan ini untuk bab ini:
- 2.1 Matriks
- 2.2 Operasi Asas ke atas Matriks
Idea utama
Peringkat dan bila operasi dibenarkan
Anda hanya boleh menambah matriks peringkat sama, dan mendarab hanya apabila lajur pertama sepadan dengan baris kedua.
Pendaraban matriks
Darab baris ke dalam lajur dan tambah, satu operasi yang pelajar paling kerap susun dengan salah.
Songsang matriks 2×2
Rumus yang diberi menggunakan penentu ad − bc; jika ia sifar tiada songsang. Songsang menyelesaikan persamaan serentak dengan kemas.
Bagaimana bab ini diuji
Kertas 2 biasanya meminta hasil darab matriks, kemudian songsang, kemudian menggunakan songsang itu untuk menyelesaikan sepasang persamaan serentak. Markah hilang kepada tergelincir aritmetik dan mendarab dalam susunan salah, jadi kerja kemas dan berlabel penting.
Rumus yang diberi dalam peperiksaan untuk bab ini
Kesilapan lazim untuk dielakkan
- Mendarab matriks dalam susunan salah (susunan penting)
- Kesilapan tanda dalam rumus songsang
- Cuba menyongsangkan matriks yang penentunya sifar
Matriks identiti dan maksud sebenar songsang
Untuk nombor biasa, songsang bagi 5 ialah 1/5 kerana 5 × 1/5 = 1, dan 1 ialah nombor yang tidak mengubah apa-apa apabila anda darab dengannya. Matriks mempunyai idea yang sama.
Matriks identiti peringkat 2 ialah I = [[1, 0], [0, 1]]; mendarab mana-mana matriks 2×2 dengan I membiarkannya tidak berubah, jadi I memainkan peranan yang dimainkan 1 untuk nombor. Songsang bagi matriks A, ditulis A⁻¹, ialah matriks yang memenuhi A × A⁻¹ = I.
Itulah sebabnya songsang sangat berguna: mendarab dengan A⁻¹ 'membatalkan' pendaraban dengan A, sama seperti membahagi dengan 5 membatalkan pendaraban dengan 5. Mengingati gambaran ini menjelaskan apa yang anda tuju apabila mengira songsang, dan mengapa hanya matriks segi empat sama boleh mempunyainya, anda perlukan bilangan baris dan lajur yang sama untuk A × A⁻¹ memberi identiti segi empat sama.
Menyelesaikan persamaan serentak cara matriks
Sebab songsang penting dalam Kertas 2 ialah ia menyelesaikan sepasang persamaan serentak dalam satu gerak bersih. Ambil dua persamaan seperti 3x + y = 7 dan 5x + 2y = 12.
Tulis sebagai satu persamaan matriks MX = C, dengan M ialah matriks pekali [[3, 1], [5, 2]], X ialah lajur [x, y] anu, dan C ialah lajur [7, 12] sebelah kanan. Untuk selesaikan X, darab kedua-dua belah di sebelah kiri dengan M⁻¹: kerana M⁻¹M = I, anda dapat X = M⁻¹C.
Jadi keseluruhan kaedahnya: bina M, C dan X; cari M⁻¹; kemudian darab M⁻¹ dengan C untuk baca x dan y. Susunan penting, songsang mesti di kiri C, bukan di kanan, kerana pendaraban matriks tidak kalis tukar tertib.
Ini soalan berstruktur piawai, dan mengetahui susunan MX = C bermakna anda tidak pernah teragak-agak apa langkah seterusnya.
Penentu: semakan anda sebelum menyongsangkan
Sebelum anda menyongsangkan matriks 2×2 [[a, b], [c, d]], kira penentunya, ad − bc. Rumus songsang yang dicetak pada helaian rumus peperiksaan ialah A⁻¹ = (1 / (ad − bc)) × [[d, −b], [−c, a]], dan penentu ialah nombor yang anda bahagikan dengannya.
Jika penentu ialah sebarang nilai bukan sifar, songsang wujud dan anda teruskan; jika ia menjadi sifar matriks itu singular dan langsung tiada songsang, kerana anda tidak boleh bahagi dengan sifar. Jadi penentu ialah kedua-dua lampu hijau dan amaran: kira dahulu, dan hanya teruskan jika ia bukan sifar.
Dalam SPM penentu sifar hampir selalu bermakna silap aritmetik dalam pendaraban ad atau bc, jadi semak semula hasil darab itu sebelum membuat kesimpulan matriks itu benar-benar singular. Perhatikan susunan juga, ia ad − bc, bukan bc − ad atau ad + bc, kerana tersilap itu menterbalikkan tanda seluruh songsang.
Contoh gaya peperiksaan berjawab
Contoh ini menjalankan rantaian Kertas 2 penuh: penentu, songsang, dan menggunakan songsang itu untuk menyelesaikan persamaan serentak.
- (a) Dengan a = 3, b = 1, c = 5, d = 2, penentu ialah ad − bc = (3)(2) − (1)(5) = 6 − 5 = 1.
- (b) Rumus songsang memberi M⁻¹ = (1 / (ad − bc)) × [[d, −b], [−c, a]] = (1/1) × [[2, −1], [−5, 3]].
- Jadi M⁻¹ = [[2, −1], [−5, 3]].
- (c) Tulis persamaan sebagai M[x, y] = [7, 12], jadi [x, y] = M⁻¹[7, 12] = [[2, −1], [−5, 3]] × [7, 12].
- Baris atas: x = (2)(7) + (−1)(12) = 14 − 12 = 2.
- Baris bawah: y = (−5)(7) + (3)(12) = −35 + 36 = 1.
- Jadi x = 2 dan y = 1.
- Semak dalam persamaan asal: 3(2) + 1 = 7 ✓ dan 5(2) + 2(1) = 10 + 2 = 12 ✓.
Cara mengulang bab ini
Ulang kaji Matriks
Rumus
Soalan lazim
Bagaimana bab ini diuji
Matematik SPM menguji bab ini merentasi Matematik Kertas 1 (Objektif) dan Matematik Kertas 2 (Subjektif), berdasarkan standard kandungan DSKP di atas. Kertas 2 memberi markah untuk kerja, jadi menunjukkan setiap langkah penting.
Kesilapan lazim untuk dielakkan
Mendarab matriks dalam susunan salah (susunan penting); Kesilapan tanda dalam rumus songsang; Cuba menyongsangkan matriks yang penentunya sifar.
Rumus yang diberi dalam peperiksaan untuk bab ini
Ya, Songsang matriks 2x2 muncul pada helaian rumus yang diberi peperiksaan. Selebihnya dalam bab ini anda dijangka tahu.
Bila saya boleh tambah dua matriks, dan bila boleh darab?
Tambah atau tolak hanya matriks peringkat sama, baris dan lajur sama, unsur demi unsur. Untuk darab, bilangan lajur matriks pertama mesti sama dengan bilangan baris matriks kedua.
Jadi 2×2 darab 2×1 boleh dan memberi 2×1, tetapi 2×1 darab 2×2 tidak boleh.
Mengapa saya tidak boleh tukar susunan semasa mendarab?
Kerana pendaraban matriks menggunakan baris yang pertama dengan lajur yang kedua, AB dan BA menggabungkan nombor berbeza dan biasanya memberi hasil berbeza, kadangkala BA tidak tertakrif langsung. Sentiasa kekalkan susunan yang ditetapkan soalan.
Semasa menyelesaikan persamaan, songsang di sebelah kiri: X = M⁻¹C, bukan CM⁻¹.
Bagaimana jika penentu menjadi sifar?
Maka matriks itu tiada songsang, ia dipanggil singular, dan kaedah songsang tidak boleh digunakan, kerana anda akan membahagi dengan sifar. Dalam SPM penentu sifar biasanya menunjuk silap aritmetik, jadi semak semula ad − bc dahulu.
Jika ia benar-benar sifar, persamaan tiada penyelesaian unik.
Sumber:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)· SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)
Dapatkan bantuan dengan Matriks
Satu-ke-satu, dalam Bahasa Inggeris, dengan kerja anda disemak baris demi baris.
Dapatkan bantuan dengan Matriks