矩阵 · 2.2.6
用矩阵法解方程
学生要把一对联立线性方程写成矩阵方程AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。接着求出A⁻¹并计算X = A⁻¹B，从所得的列矩阵中直接读出各未知数的值。
官方学习标准 (2.2.6)
“运用矩阵法解联立线性方程。”
它的含义
学生要把一对联立线性方程写成矩阵方程AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。接着求出A⁻¹并计算X = A⁻¹B，从所得的列矩阵中直接读出各未知数的值。
如何考查
这是纸卷二的典型题型，通常要求学生列出矩阵方程、求出逆矩阵、相乘得到X，并清楚写出两个未知数的值；各步骤均可获得相应分数，因此方法正确、只是计算稍有失误仍能取得部分分数。
例题
用矩阵法解联立方程 x + 2y = 8 和 3x + 4y = 18。
- 写成矩阵形式：[[1, 2], [3, 4]] [[x], [y]] = [[8], [18]]
- 求A的行列式：(1×4) − (2×3) = 4 − 6 = −2
- 求 A⁻¹ = 1/(−2) × [[4, −2], [−3, 1]] = [[−2, 1], [1.5, −0.5]]
- 计算 X = A⁻¹B:x = (−2×8) + (1×18) = −16 + 18 = 2
- y = (1.5×8) + (−0.5×18) = 12 − 9 = 3
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
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常见问题
为什么要用矩阵法而不用代入法或消去法？
矩阵法是本主题要求使用的SPM解题技巧，且在已求得逆矩阵后非常系统化。代入法或消去法仍可用来验证答案，但矩阵法本身必须作为解题过程展示出来。
如果我的方程不是ax + by = c的形式怎么办？
先将每个方程整理好，使x项、y项和常数项都在正确的一边，与ax + by = c对应。只有当两个方程都化为这种标准形式后，才能写出系数矩阵A。
矩阵法可以用来解三个联立方程吗？
本标准所对应的SPM课程范围只涉及使用2×2矩阵解两个联立线性方程。同样的原理可以推广到更多方程、使用更大的矩阵，但那已超出本阶段的要求。