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矩阵 · 中五

矩阵：例题（较易）

打好基础：读出矩阵的阶、把同阶矩阵相加或相减、标量乘法，以及求 2×2 矩阵的行列式。适合刚开始学习本章的学生。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

例题 1

已知 A = [[7, 2], [−3, 5]]，B = [[4, 6], [−1, 2]]，先写出 A 的阶，再求 A − B。

  1. A 有 2 行 2 列，所以 A 的阶是 2 × 2。
  2. 按相同位置逐项相减：[[7−4, 2−6], [−3−(−1), 5−2]]。
  3. 化简每一项：[[3, −4], [−2, 3]]。

例题 2

已知 M = [[−2, 3], [5, −1]]，求 4M。

  1. 标量乘法把每一个元素都乘以 4。
  2. 4M = [[4×(−2), 4×3], [4×5, 4×(−1)]]。
  3. 计算：[[−8, 12], [20, −4]]。

例题 3

求 M = [[6, 4], [3, 5]] 的行列式。

  1. 对于 [[a, b], [c, d]]，行列式为 ad − bc。
  2. 这里 a=6, b=4, c=3, d=5，所以 det M = (6×5) − (4×3)。
  3. det M = 30 − 12 = 18。

例题 4

已知 A = [[3, −2], [4, 1]]，B = [[5, 6], [−2, 0]]，求 A + B。

  1. 对应元素相加。
  2. 第 1 行：[3 + 5, −2 + 6] = [8, 4]。
  3. 第 2 行：[4 + (−2), 1 + 0] = [2, 1]。

例题 5

求矩阵 [[8, 3], [2, 7]] 的行列式。

  1. 对于 [[a, b], [c, d]]，行列式 = ad − bc。
  2. 代入：(8 × 7) − (3 × 2)。
  3. 计算：56 − 6 = 50。

例题 6

已知 N = [[1, −5], [−2, 4]]，求 3N。

  1. 每个元素乘以 3。
  2. 第 1 行：[3 × 1, 3 × (−5)] = [3, −15]。
  3. 第 2 行：[3 × (−2), 3 × 4] = [−6, 12]。

例题 7

已知 A = [[9, −2], [0, 6]]，写出 A 的阶，然后求 5A。

  1. A 有 2 行 2 列，所以 A 的阶为 2 × 2。
  2. 把 A 的每个元素都乘以 5。
  3. 5A = [[5×9, 5×(−2)], [5×0, 5×6]]。
  4. 5A = [[45, −10], [0, 30]]。

例题 8

求矩阵 R = [[2, 9], [4, 5]] 的行列式。

  1. 对于 [[a, b], [c, d]]，行列式为 ad − bc。
  2. det R = (2 × 5) − (9 × 4)。
  3. det R = 10 − 36。
  4. det R = −26。

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

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常见问题

这些基础矩阵题目主要考什么？

基础题主要检验你能否写出矩阵的阶数、把同阶矩阵相加或相减、用纯量乘以矩阵，以及正确地进行矩阵乘法。先熟练辨认行与列，大多数早期错误都出在计算之前，矩阵的阶数根本对不上。

为什么最终答案正确，却还是被扣分？

阅卷老师要看的是矩阵运算的每一个步骤，而不只是最终结果。如果跳过乘法中逐行乘逐列的过程，或没有写出结果矩阵的阶数，即使数字最后正确，也可能被扣去方法分。

务必清楚写出每个元素的计算过程。

两个矩阵相乘时，最常见的错误是什么？

学生常常把矩阵相乘的顺序弄错，或者在阶数不匹配的情况下强行相乘（第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数）。相乘前先检查两者阶数是否吻合，并记住矩阵乘法一般不满足交换律，AB 和 BA 的结果通常不同。

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