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矩阵 · 中五

矩阵：例题（中等）

把方法组合起来：两个 2×2 矩阵相乘、求 2×2 矩阵的逆矩阵，以及用逆矩阵解一对二元一次联立方程。适合已掌握基础、想学两三步方法的学生。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

例题 1

已知 A = [[2, 1], [3, −1]]，B = [[4, 0], [−2, 5]]，求 AB。

  1. 行乘列：元素 (1,1) = (2×4) + (1×(−2)) = 8 − 2 = 6。
  2. 元素 (1,2) = (2×0) + (1×5) = 0 + 5 = 5。
  3. 元素 (2,1) = (3×4) + ((−1)×(−2)) = 12 + 2 = 14。
  4. 元素 (2,2) = (3×0) + ((−1)×5) = 0 − 5 = −5。
  5. 汇总各元素：AB = [[6, 5], [14, −5]]。

例题 2

求 M = [[4, 2], [3, 5]] 的逆矩阵。

  1. 先求行列式：det M = (4×5) − (2×3) = 20 − 6 = 14。
  2. 因为 det M = 14 ≠ 0，逆矩阵存在。交换主对角线的两个元素，并把另两个元素变号：[[5, −2], [−3, 4]]。
  3. 乘以 1 ÷ det M：M⁻¹ = (1/14)[[5, −2], [−3, 4]]。

例题 3

用逆矩阵法解联立方程 2x + y = 7 和 3x − 2y = 0。

  1. 写成矩阵形式：[[2, 1], [3, −2]] [[x], [y]] = [[7], [0]]。
  2. 系数矩阵的行列式 = (2×(−2)) − (1×3) = −4 − 3 = −7。
  3. 逆矩阵 = (1/(−7))[[−2, −1], [−3, 2]]。
  4. 用逆矩阵乘 [[7], [0]]：[[x], [y]] = (1/(−7))[[(−2×7)+(−1×0)], [(−3×7)+(2×0)]] = (1/(−7))[[−14], [−21]]。
  5. 每个元素除以 −7：[[x], [y]] = [[2], [3]]。

例题 4

已知 A = [[1, 3], [2, −1]]，B = [[2, 4], [0, 5]]，求 AB。

  1. AB 的每个元素 = （A 的行）·（B 的列）。
  2. 第 1 行：[1×2 + 3×0, 1×4 + 3×5] = [2, 19]。
  3. 第 2 行：[2×2 + (−1)×0, 2×4 + (−1)×5] = [4, 3]。

例题 5

求矩阵 [[3, 1], [5, 2]] 的逆矩阵。

  1. 行列式 = (3 × 2) − (1 × 5) = 6 − 5 = 1。
  2. 交换主对角线元素，并对另一对角线取负：[[2, −1], [−5, 3]]。
  3. 乘以 1/行列式 = 1/1 = 1，矩阵保持不变。

例题 6

用逆矩阵法解联立方程 x + 2y = 8 和 3x − y = 3。

  1. 写成矩阵形式：[[1, 2], [3, −1]] [[x], [y]] = [[8], [3]]。
  2. 行列式 = (1 × −1) − (2 × 3) = −1 − 6 = −7。
  3. 逆矩阵 = (1/−7) [[−1, −2], [−3, 1]]。
  4. [[x], [y]] = (1/−7) [[−1, −2], [−3, 1]] [[8], [3]] = (1/−7) [[−14], [−21]] = [[2], [3]]。

例题 7

已知 A = [[5, −1], [2, 3]] 和 B = [[1, 4], [−2, 0]]，求 AB。

  1. 用 A 的第 1 行乘以 B 的第 1 列：(5×1) + (−1×−2) = 5 + 2 = 7。
  2. 用 A 的第 1 行乘以 B 的第 2 列：(5×4) + (−1×0) = 20 + 0 = 20。
  3. 用 A 的第 2 行乘以 B 的第 1 列：(2×1) + (3×−2) = 2 − 6 = −4。
  4. 用 A 的第 2 行乘以 B 的第 2 列：(2×4) + (3×0) = 8 + 0 = 8。
  5. AB = [[7, 20], [−4, 8]]。

例题 8

用逆矩阵法解联立方程 3x + 2y = 12 和 x − y = −1。

  1. 写成矩阵形式：[[3, 2], [1, −1]] [x, y] = [12, −1]。
  2. 求行列式：(3×−1) − (2×1) = −3 − 2 = −5。
  3. 求逆矩阵：(1/−5)[[−1, −2], [−1, 3]] = [[1/5, 2/5], [1/5, −3/5]]。
  4. 用逆矩阵乘以 [12, −1]：x = (1/5)(12) + (2/5)(−1) = 12/5 − 2/5 = 10/5 = 2。
  5. y = (1/5)(12) + (−3/5)(−1) = 12/5 + 3/5 = 15/5 = 3。

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

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常见问题

中等难度的矩阵题目新增了哪些考点？

除了基本运算外，中等题会加入2×2矩阵的行列式与逆矩阵，并要求用逆矩阵解一对联立线性方程。做题前必须先把方程正确转换成矩阵形式，认清系数矩阵，才能套用逆矩阵法求解出两个未知数的值。

为什么用逆矩阵法解题时常常出错？

常见错误是求逆矩阵前忘了先检查行列式是否不为零，若行列式为零，逆矩阵便不存在。学生也常忘记乘以1/行列式，或在写伴随矩阵时把对角线上的元素换错位置。

用矩阵法解联立方程时，最后答案该怎么写才规范？

求出逆矩阵并乘以常数矩阵后，要写出所得的列矩阵，并清楚地把结果对应回原来的未知数，写成 x = ...、y = ... 的形式。

如果只留下一个没有标注的矩阵而不写出具体的未知数值，可能会被扣分。

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