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矩阵 · 中五

矩阵：例题（KBAT）

需要自己看出该用矩阵方法的真实情境：从两笔订单求单价、汇总各分店的成本，以及按周缩放产量。这些题目训练学生把文字情境转化为矩阵，再转化回来。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

例题 1

一个摊位以固定价格出售 nasi lemak（椰浆饭）和 teh tarik（拉茶）。一位顾客买 3 份椰浆饭和 2 杯拉茶付了 RM13，另一位买 4 份椰浆饭和 5 杯拉茶付了 RM22。

用矩阵方法求一份椰浆饭和一杯拉茶的价格。

  1. 设 x = 一份椰浆饭的价格，y = 一杯拉茶的价格（单位 RM）。则 3x + 2y = 13，4x + 5y = 22。
  2. 矩阵形式：[[3, 2], [4, 5]] [[x], [y]] = [[13], [22]]。
  3. 行列式 = (3×5) − (2×4) = 15 − 8 = 7。
  4. 逆矩阵 = (1/7)[[5, −2], [−4, 3]]；乘以 [[13], [22]]：[[x], [y]] = (1/7)[[(5×13)+(−2×22)], [(−4×13)+(3×22)]]。
  5. 化简：(1/7)[[65 − 44], [−52 + 66]] = (1/7)[[21], [14]] = [[3], [2]]。

例题 2

一家校服供应商每件衬衫收 RM25，每条长裤收 RM35。P 店订 40 件衬衫和 30 条长裤；Q 店订 25 件衬衫和 50 条长裤。

把订单写成一个矩阵、价格写成另一个矩阵，再用矩阵乘法求每家店的总账单。

  1. 数量矩阵 Q = [[40, 30], [25, 50]]（行 = P 店、Q 店；列 = 衬衫、长裤）。价格矩阵 P = [[25], [35]]。
  2. 总额 = Q × P。P 店：(40×25) + (30×35) = 1000 + 1050 = 2050。
  3. Q 店：(25×25) + (50×35) = 625 + 1750 = 2375。
  4. 所以 Q × P = [[2050], [2375]]。

例题 3

一家面包店有两间分店。每个工作日的产量（蛋糕、面包）由 W = [[30, 45], [20, 50]] 给出（第 1 行 = A 分店，第 2 行 = B 分店）。

每个周末日的产量是工作日的 1.5 倍。用矩阵运算求一整周（5 个工作日 + 2 个周末日）内每间分店各项产品的总产量。

  1. 周末每日产量 = 1.5 × W（标量乘法）。
  2. 一周总量 = 5 个工作日 + 2 个周末日 = 5W + 2(1.5W) = 5W + 3W = 8W。
  3. 计算 8W = 8 × [[30, 45], [20, 50]] = [[240, 360], [160, 400]]。

例题 4

在一家文具店，2 支笔和 3 个文件夹售 RM16，5 支笔和 2 个文件夹售 RM18。用矩阵法求一支笔和一个文件夹的价格。

  1. 设一支笔 RM x，一个文件夹 RM y：2x + 3y = 16，5x + 2y = 18。
  2. 矩阵形式：[[2, 3], [5, 2]] [[x], [y]] = [[16], [18]]。
  3. 行列式 = (2 × 2) − (3 × 5) = 4 − 15 = −11。
  4. [[x], [y]] = (1/−11) [[2, −3], [−5, 2]] [[16], [18]] = (1/−11) [[−22], [−44]] = [[2], [4]]。

例题 5

一位餐饮承办商做两种套餐。套餐 A 用 2 块鸡肉和 3 勺饭；套餐 B 用 1 块鸡肉和 4 勺饭。

某天他做了 50 份套餐 A 和 80 份套餐 B。鸡肉每块 RM3.50，饭每勺 RM0.80。

用矩阵乘法求鸡肉和饭的总成本。

  1. 套餐 × 材料：[50, 80] × [[2, 3], [1, 4]] = [50×2 + 80×1, 50×3 + 80×4] = [180, 470]（鸡肉总块数和饭总勺数）。
  2. 材料 × 单价：[180, 470] × [[3.50], [0.80]] = 180 × 3.50 + 470 × 0.80。
  3. 计算：630 + 376 = 1006。

例题 6

一家补习中心有两间分行。学生人数为 S = [[40, 25], [30, 35]]，行为 A 分行和 B 分行，列为中四和中五。

月费中四 RM120，中五 RM150。用矩阵乘法求每间分行的月收入，然后求若下月学费上涨 10%（学生不变）的总收入。

  1. 用 S 乘以学费列：[[40, 25], [30, 35]] [[120], [150]]。
  2. A 分行：40×120 + 25×150 = 4800 + 3750 = 8550。
  3. B 分行：30×120 + 35×150 = 3600 + 5250 = 8850。
  4. 本月总额 = 8550 + 8850 = 17400。
  5. 下月（+10%）：17400 × 1.10 = 19140。

例题 7

某校运动会按奖牌给分：金牌 = 5 分，银牌 = 3 分，铜牌 = 1 分。三个学社的奖牌表如下：红社，4 金 3 银 2 铜；蓝社，3 金 5 银 2 铜；绿社，2 金 4 银 6 铜。

用矩阵乘法求各学社的总分，并指出哪个学社是冠军。

  1. 写出奖牌矩阵（行 = 学社，列 = 金、银、铜）：M = [[4, 3, 2], [3, 5, 2], [2, 4, 6]]。
  2. 写出分值矩阵（列向量）：P = [5, 3, 1]。
  3. 用 M 乘以 P：红社 = (4×5) + (3×3) + (2×1) = 20 + 9 + 2 = 31。
  4. 蓝社 = (3×5) + (5×3) + (2×1) = 15 + 15 + 2 = 32。
  5. 绿社 = (2×5) + (4×3) + (6×1) = 10 + 12 + 6 = 28。
  6. 比较：32 > 31 > 28，所以蓝社是冠军，共 32 分。

例题 8

一个摊位以固定价格出售椰浆饭和拉茶。一位顾客买 3 份椰浆饭和 2 杯拉茶付了 RM13。

另一位顾客买 4 份椰浆饭和 5 杯拉茶付了 RM22。用矩阵法求一份椰浆饭和一杯拉茶的价格。

  1. 设一份椰浆饭价格为 RM x，一杯拉茶价格为 RM y。列出方程：3x + 2y = 13 和 4x + 5y = 22。
  2. 写成矩阵形式：[[3, 2], [4, 5]] [x, y] = [13, 22]。
  3. 求行列式：(3×5) − (2×4) = 15 − 8 = 7。
  4. 求逆矩阵：(1/7)[[5, −2], [−4, 3]]。
  5. x = [(5×13) + (−2×22)] ÷ 7 = (65 − 44) ÷ 7 = 21 ÷ 7 = RM3.00。
  6. y = [(−4×13) + (3×22)] ÷ 7 = (−52 + 66) ÷ 7 = 14 ÷ 7 = RM2.00。

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

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常见问题

矩阵的KBAT题目和普通题目有什么不同？

KBAT矩阵题会把数学放进真实情境中，例如库存管理、成本比较或编码问题，要求你先从文字题自行列出矩阵，再进行几个相关联的运算。难点通常在于如何把情境正确转化成矩阵，而不是运算本身。

面对多步骤的矩阵KBAT题，学生应该怎样规划解题过程？

把问题拆成几个阶段：先弄清每个矩阵代表什么，再确定连接各阶段的运算（加法、乘法或逆矩阵），并在过程中清楚标注每个矩阵。计算前先写一个简短的解题计划，能避免在长题目中途把矩阵按错误顺序组合。

这类题目中，高阶思维分主要靠什么来获得？

得分点在于能否正确把情境转化成矩阵形式、运算步骤是否合乎逻辑，以及最终答案能否呼应原题，例如说明总矩阵在成本或数量上代表什么意义。只会计算而不解释情境意义，是拿不到完整KBAT分数的。

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