矩阵
如何矩阵相乘
用它求两个矩阵的乘积，这常是求逆之前的第一步。
开始之前
- 知道矩阵的阶（行 × 列）
- 乘法与加法，包括负数
- 跟踪行与列的位置
何时使用
用它求两个矩阵的乘积，这常是求逆之前的第一步。
步骤
- 先检查能否相乘：第一个矩阵的列数须等于第二个矩阵的行数。
- 取左矩阵的第一行与右矩阵的第一列。
- 把对应元素相乘再相加，得到答案中的一个数。
- 对每一对行，列重复，保持它们的位置。
- 把结果写在乘积矩阵的正确位置。
例题
已知 A = (1 2; 3 4) 和 B = (5 6; 7 8)，求乘积 AB。
- A 有 2 列，B 有 2 行；相符，所以 AB 存在，是 2×2 矩阵。
- 取 A 的第 1 行 (1, 2) 和 B 的第 1 列 (5, 7)。
- 把对应项相乘再相加：1×5 + 2×7 = 5 + 14 = 19，放在（第 1 行，第 1 列）。
- 重复：第 1 行 × 第 2 列 = 1×6 + 2×8 = 22；第 2 行 × 第 1 列 = 3×5 + 4×7 = 43；第 2 行 × 第 2 列 = 3×6 + 4×8 = 50。
- 把每个数放到位置上：AB = (19 22; 43 50)。
第二个例题（略有变化）
矩阵不是方阵（2×3 乘 3×2）且含负数，所以要注意阶和符号。 已知 A = (1 0 2; −1 3 1) 和 B = (2 1; 0 4; 3 −1)，求 AB。
- A 有 3 列，B 有 3 行；相符，所以 AB 存在，是 2×2 矩阵。
- 取 A 的第 1 行 (1, 0, 2) 和 B 的第 1 列 (2, 0, 3)。
- 对应项相乘再相加：1×2 + 0×0 + 2×3 = 2 + 0 + 6 = 8，放在位置 (1, 1)。
- 对每一对重复：第 1 行 × 第 2 列 = 1×1 + 0×4 + 2×(−1) = −1；第 2 行 × 第 1 列 = (−1)×2 + 3×0 + 1×3 = 1；第 2 行 × 第 2 列 = (−1)×1 + 3×4 + 1×(−1) = 10。
- 放好每个数：AB = (8 −1; 1 10)。
你可能需要的公式
A-1 = 1/(ad−bc) × [[d, −b], [−c, a]]
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常见问题
AB 和 BA 一样吗？
通常不一样。矩阵乘法不满足交换律，所以 AB 和 BA 一般不同，有时只有其中一个可行。
一定要按题目给的顺序相乘。换顺序可能改变每个项，甚至因阶不再相符而无法相乘。
什么时候不能相乘？
看阶：左矩阵的列数必须等于右矩阵的行数。若不相符，乘积不存在。
例如 2×3 矩阵可以乘 3×2 矩阵，但不能乘另一个 2×3 矩阵。
答案会是什么阶？
乘积的行来自左矩阵，列来自右矩阵。所以 2×3 乘 3×2 得到 2×2，2×2 乘 2×2 得到 2×2。
先写下预期的阶作为检查。