二元线性不等式
如何在可行区域中求最优值
用它在线性不等式约束下求某量的最大或最小值。
开始之前
- 根据多个不等式涂阴影区域
- 求两条直线的交点
- 把坐标代入一个表达式
何时使用
用它在线性不等式约束下求某量的最大或最小值。
步骤
- 画出所有不等式并涂出可行区域。
- 找出区域的顶点。
- 把要优化的量写成表达式。
- 把每个顶点代入表达式。
- 按题意选出给出最大或最小值的顶点。
例题
在 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ 6 和 y ≤ 4 的条件下，求 P = 3x + 2y 的最大值。
- 画出四个不等式，涂出它们围成的可行区域。
- 找出区域的角点：(0, 0)、(6, 0)、(2, 4) 和 (0, 4)。
- 写出要优化的量：P = 3x + 2y。
- 代入每个角点：P(0,0) = 0；P(6,0) = 18；P(2,4) = 6 + 8 = 14；P(0,4) = 8。
- 最大值是 18，在角点 (6, 0)。
第二个例题（略有变化）
这是一个真实成本情境下的最小化问题，带有“至少”约束，所以要在角点中选最小值。 一位餐饮承办人准备 x 盘饭和 y 盘面，总共至少 6 盘，饭至少 1 盘，面至少 2 盘。
每盘饭 RM5，每盘面 RM4。求最小总成本 C = 5x + 4y。
- 写出约束 x ≥ 1、y ≥ 2 和 x + y ≥ 6，然后涂出可行区域。
- 找出该区域的角点：(1, 5) 和 (4, 2)。
- 写出要优化的量：C = 5x + 4y。
- 代入每个角点：C(1,5) = 5 + 20 = 25；C(4,2) = 20 + 8 = 28。
- 题目要求最小值，所以选较小的 25，在 (1, 5)。
公式页面
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常见问题
为什么只检查角点，不看内部的点？
对线性表达式，在多边形上最大和最小值总出现在角点，绝不会严格在内部。所以只测角点就够了。
这就是先找顶点的原因：那是最大值或最小值唯一可能出现的地方。
怎么求角点的精确坐标？
每个角点是两条边界线相交处。把这两条方程联立求解，通常用代入法或消元法，得到精确的 x 和 y。
不要只从图上读，因为草图可能略有偏差，小误差会改变你选的最优点。
怎么知道该选最大还是最小？
仔细读题。“最大”“最多”“利润最高”这类词表示选最大值；“最小”“最少”“成本最低”表示选最小值。
先算出每个角点的表达式，再选出符合题目要求的那个值。