组合事件的概率
如何用树形图处理组合事件
用树形图求两个或更多事件同时发生的概率。
开始之前
- 把概率写成分数
- 两个分数相乘
- 同分母分数相加
- 明白一个事件所有结果的概率之和为 1
何时使用
用树形图求两个或更多事件同时发生的概率。
步骤
- 为第一个事件的每个结果画一条分支，并标上概率。
- 从每条分支画出第二个事件的结果。
- 对相关事件，减小第二组分支上的概率。
- 沿一条路径相乘，求该组合的概率。
- 把满足题意的所有路径的概率相加。
例题
袋中有 3 颗红色和 2 颗绿色弹珠。取出一颗，记下颜色后放回；再取出第二颗。
求两颗弹珠同色的概率。
- 为第一次抽取的每个结果画一条分支：红色概率 3/5，绿色概率 2/5。
- 从每条第一分支再画第二次抽取的结果：仍是红色和绿色。
- 弹珠放回，袋中不变，两事件独立，第二次的概率仍是 3/5 和 2/5（不用缩小）。
- 沿每条“同色”路径相乘：红-红 = 3/5 × 3/5 = 9/25；绿-绿 = 2/5 × 2/5 = 4/25。
- 把同色的路径相加：9/25 + 4/25 = 13/25。
第二个例题（略有变化）
弹珠不放回，两事件相依，第二次抽取的概率必须缩小。 袋中有 4 颗红色和 3 颗黄色弹珠。
不放回地先后取出两颗。求两颗同色的概率。
- 画第一次抽取的分支：红色 4/7，黄色 3/7（共 7 颗）。
- 从每条分支再画第二次抽取的红色与黄色分支。
- 不放回，所以要缩小总数：抽出一颗红后，6 颗中剩 3 颗红，故红-红用 3/6；抽出一颗黄后，6 颗中剩 2 颗黄，故黄-黄用 2/6。
- 沿每条“同色”路径相乘：红-红 = 4/7 × 3/6 = 12/42；黄-黄 = 3/7 × 2/6 = 6/42。
- 把同色路径相加：12/42 + 6/42 = 18/42 = 3/7。
你可能需要的公式
P(A) = n(A) / n(S)
考试提供P(A') = 1 − P(A)
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常见问题
在树状图上什么时候乘、什么时候加？
沿单一路径相乘，因为那是一个事件“和”下一个同时发生。跨不同路径相加，因为那是一条路径“或”另一条满足题意。
所以“和”用乘，“或”用加。
怎么知道事件是相依的？
问第一个结果会不会改变剩下的东西。若不放回，剩下的变少，第二次的概率就变，事件相依，必须缩小总数。
若放回，什么都不变，事件独立。
从一个点分出的分支概率一定要加起来等于 1 吗？
是的。树状图上任一点分出的各分支概率应加起来等于 1，因为它们涵盖了该事件的所有可能结果。
相乘前用它快速检查有没有出错。