组合事件的概率

本章在基础概率之上，处理两个或更多事件的组合。你要学会独立与相关事件、互斥与非互斥事件之间的区别，以及如何用树形图与所给的概率公式把它们组合起来。

试卷二偏爱树形图：画出来、标上概率，再为复合事件组合。真实情境，弹珠、天气、次品，贯穿其中。

分数既奖励清晰画出的树，也奖励最终的数字。

本章一切都建立在两条规则上。乘法定律处理“A 和 B 同时发生”：对独立事件 P(A 和 B) = P(A) × P(B)，在树状图的任一条路径上，把各分支的概率相乘。

加法定律处理“A 或 B 发生”：P(A 或 B) = P(A) + P(B) − P(A 和 B)。最后那个减法去掉了否则会被算两次的重叠部分；当事件互斥时两者不能同时发生，重叠为零，规则就简化成 P(A) + P(B)。

判断该用哪条定律，其实就是看题目用“和”还是“或”来连接事件。

当题目问“至少一个”成功的概率，至少一个红球、至少一次正面、至少一件次品，把每种成功情形都列出来又慢又易错。有一条几乎总能取胜的捷径：“至少一个”正是“一个都没有”的相反，所以 P（至少一个） = 1 − P（一个都没有）。

你只需算出零个成功的那一个概率，再用 1 去减。对于不放回抽两次，“至少一个蓝”就变成 1 − P（两个都不是蓝） = 1 − P（两个都是红）。

一次简短的计算取代了三次。一看到“至少”两字，先想补集。

一棵树状图可以回答一道题的好几个小题，关键技巧是为每个小题挑出正确的路径。先把树画完整，在每条分支上写好概率，并检查从每一点分出的各分支加起来等于 1。

然后针对每个小题问两个问题：哪些末端结果算成功，它们是怎么到达的？沿每条成功路径相乘得到该路径的概率，再把所有成功路径的概率相加。

“两个颜色相同”就是把全红路径和全蓝路径相加；“颜色不同”就是把先红后蓝和先蓝后红两条路径相加。把树画一次、仔细选路径，好过每个小题都从头来过。

一道不放回抽取的题，正是奖励清晰树状图的那类题。