组合事件的概率 · 中四

树状图如何整理组合事件

树状图把组合实验的每个阶段画成一组分支，让每条可能的路径及其概率都清楚地摊开来。沿着一条路径把概率相乘，就得到那个结果的概率。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

阶段变成分支

实验的每个阶段是一个分岔点，该阶段每一个可能的结果各占一条分支。从起点到终点、由左往右读的一条路径，就是一个组合结果，以两枚硬币为例，最上面「H 再 H」这条路径就是结果 HH。

每一步的概率写在它的分支上，于是整个实验在一张图里一目了然。

因为每条分支都画出来了，树状图让人很难漏掉某个结果，这正是它胜过凭记忆列举的主要原因。从任一分岔点出发的各条分支概率总和永远是 1，这是一个快速检查，确认没有漏掉任何情况。

沿着一条路径把各分支概率相乘，就得到该路径的概率，而组合事件的乘法概念正是体现在这里。

当实验分阶段进行时，先做这个，再做那个，尤其是连续两三次抽取或投掷，树状图最合适。经典错误是沿着一条路径相加而不是相乘：沿单一路径要相乘，只有在合并几条完整路径的概率时才相加。

还要注意，对于非独立事件，第二组分支上的数字会随你走的第一条分支而不同，所以分支不能只是照抄下来。

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树形图上的分支和数字究竟代表什么？

每个分支代表该阶段的一个可能结果，分支上的数字是在前面所有分支结果已经发生的条件下，该结果发生的概率。同一起点分出的所有分支概率之和必须等于1。

如何利用树形图求出组合事件的概率？

把通往该结果的那一条路径上的所有概率相乘。如果题目要求两种或以上不同的组合结果(例如“至少一次”)，就分别求出每条符合条件的路径概率，再把这些路径概率相加。

阅读树形图概率时常见的错误是什么？

一是在相依事件（不放回）的情况下忘记调整后面分支的概率；二是把沿路径相乘误做成相加。另外，混淆“且”（沿同一路径相乘）与“或”（不同路径相加）也会白白失分，即使树形图本身画得正确。