组合事件的概率
如何用概率加法法则
用加法法则求一个事件“或”另一个事件发生的概率。
开始之前
- 求单个事件的概率
- 同分母分数的加减
- 明白“互斥”的含义
- 求两个事件的重叠（交集）
何时使用
用加法法则求一个事件“或”另一个事件发生的概率。
步骤
- 判断两个事件能否同时发生，还是互斥。
- 若互斥，把概率相加：P(A) + P(B)。
- 若可重叠，减去重叠部分：P(A) + P(B) − P(A 且 B)。
- 先算出每个概率，再合并。
- 检查总和不超过 1。
例题
罐中有 20 颗糖：红色 8 颗、绿色 5 颗、黄色 7 颗。随机取一颗。
求它是红色或绿色的概率。
- 判断类型：一颗糖只有一种颜色，所以“红”和“绿”不能同时发生，它们互斥。
- 因为互斥，用 P（红） + P（绿），没有要减去的部分。
- 先算各自的概率：P（红） = 8/20，P（绿） = 5/20。
- 合并：8/20 + 5/20 = 13/20。
- 检查总和不超过 1：13/20 = 0.65 ≤ 1，有效。
第二个例题（略有变化）
这次两个事件可以同时发生（有一个数同时属于两个列表），所以必须减去重叠部分。 从 1 到 20 中随机选一个数。
求它是 4 的倍数或 5 的倍数的概率。
- 判断类型：4 的倍数是 4、8、12、16、20；5 的倍数是 5、10、15、20。数 20 同时属于两者，所以事件可以重叠。
- 因为重叠，用 P(A) + P(B) − P(A 和 B)。
- 先各自计算：P(4 的倍数) = 5/20，P(5 的倍数) = 4/20，P(两者皆是，即 20 的倍数) = 1/20。
- 合并：5/20 + 4/20 − 1/20 = 8/20 = 2/5。
- 检查总和不超过 1：2/5 = 0.4 ≤ 1，有效。
你可能需要的公式
P(A) = n(A) / n(S)
考试提供P(A') = 1 − P(A)
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常见问题
怎么判断两个事件是否互斥？
问有没有某个结果能同时满足两个事件。若没有，就互斥，直接相加。
若至少有一个结果同属两者，就重叠，必须减去一次 P(A 和 B)。
为什么要减去重叠部分？
同时满足两个事件的结果，在 P(A) 里算了一次，在 P(B) 里又算一次，被算了两次。减去一次 P(A 和 B) 就去掉重复，使每个结果恰好算一次。
如果忘了减去重叠会怎样？
总和会偏大，因为共有的结果被算了两次，甚至可能大于 1。概率大于 1 是不可能的，这就是明显的警示：事件重叠了，而你漏了那一步减法。