组合事件的概率 · 中四
组合事件的概率：常见错误
在 组合事件的概率 中悄悄丢分的错误，以及在 SPM 考试中如何逐一避开。
以我们教 组合事件的概率 的经验，大多数失分来自少数反复出现的小错，而非不理解。以下就是这些错误及其纠正。
要避开的错误
- 该沿分支相乘时却相加
- 相关事件第二次抽取时没有减小概率
- 非互斥事件忘了减去重叠部分
另外六个悄悄扣分的失误
- 学生写的：不放回取两颗绿球时写成 6/10 × 6/9。→ 为什么失分：分母减了，分子却没减，等于把已取出的那颗绿球数了两次。→ 正确做法：一颗绿球也已经不在了，所以 6/10 × 5/9 = 30/90 = 1/3。
- 学生写的：P（至少一颗黄） = 4/10 + 4/9。→ 为什么失分：把单次抽取的概率相加会重复计算，甚至可能超过 1。→ 正确做法：用互补，P（至少一颗黄） = 1 − P（没有黄） = 1 − (6/10 × 5/9) = 1 − 30/90 = 60/90 = 2/3。
- 学生写的：P（恰好一颗黄） = 6/10 × 4/9。→ 为什么失分：只算了“先绿后黄”这一种顺序，漏掉了“先黄后绿”。→ 正确做法：两种顺序都要加，(6/10 × 4/9) + (4/10 × 6/9) = 24/90 + 24/90 = 48/90 = 8/15。
- 学生写的：P(骰子出现偶数或大于 3) = 3/6 + 3/6 = 1。→ 为什么失分：两个事件有重叠（4 和 6 同时属于两者），并非互斥。→ 正确做法：P = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6 = 2/3。
- 学生写的：一台机器每次独立运行生产出合格零件的概率为 2/3；运行两次，P（两次都合格）写成 2/3 + 2/3。→ 为什么失分：“两次都……且……”是沿枝相乘，不是跨枝相加。→ 正确做法：P（两次都合格） = 2/3 × 2/3 = 4/9。
- 学生写的：第一次抽取时 P（绿） = 6/10，P（非绿） = 6/10。→ 为什么失分：同一节点的两枝必须相加等于 1，而 6/10 + 6/10 ≠ 1。→ 正确做法：P（非绿） = 1 − 6/10 = 4/10，所以这两枝是 6/10 和 4/10。
交卷前先抓出这些
对任何组合事件的答案做三项快速检查。每个概率是否都在 0 与 1 之间？
树形图每个节点上的各枝相加是否等于 1？“和”有没有沿枝相乘、“或”有没有跨枝相加，并且只在事件能同时发生时才减去重叠？
任何一个“否”都直指上面六个失误之一。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
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常见问题
我的概率加起来超过 1 了，哪里出错了？
概率超过 1 是不可能的，所以这是个有用的警报。通常是你把本该相乘的两个枝概率相加了，或者把“至少一个”用相加处理，而没有用 1 − P（一个都没有）。
回头检查：每个“和/且”都应是相乘，而“至少”则要用互补来算。
“恰好一个”和“至少一个”为什么不同？
“恰好一个”表示一次成功一次失败，所以把两种顺序相加就到此为止。“至少一个”表示一次或两次成功，也就是除了“零次”以外的全部，所以最快的方法是 1 − P（一个都没有）。
混淆这两者，会让你把“两次都成功”这个情况算错位置。
怎样快速检查树形图对不对？
两个快速检查能抓出大部分错误。第一，从任何一个节点分出的各枝必须相加等于 1，例如 5/8 和 3/8。
第二，所有枝末端的概率合起来也必须等于 1。只要其中一个总和不对，就表示在你合并之前，某个概率已经写错了。