组合事件的概率 · 中四
组合事件的概率：复习笔记
组合事件的概率 的精简复习总结（SPM 数学），核心概念、考试提供的公式，以及考前该聚焦的重点。
核心要点
本章在基础概率之上，处理两个或更多事件的组合。你要学会独立与相关事件、互斥与非互斥事件之间的区别，以及如何用树形图与所给的概率公式把它们组合起来。
需复习的核心概念
- 独立与相关. 独立事件里，一个结果不改变下一个；相关事件里（如不放回抽取）则会改变。
- 树形图. 树把每条路径及其概率铺开。沿分支相乘，跨分支相加。
- 互斥与否. 互斥事件不能同时发生，故 P(A 或 B) = P(A) + P(B)；否则要减去重叠部分。
P(A) = n(A) / n(S)
考试提供P(A') = 1 − P(A)
考试提供每个核心概念配一道迷你示范
- 独立事件（相乘）：抛掷两枚公平硬币。P（两次都是正面） = 1/2 × 1/2 = 1/4。
- 相依事件（不放回）：一个盒子里有 4 支好笔和 2 支坏笔。不放回地取出两支。P（两支都好） = 4/6 × 3/5 = 12/30 = 2/5。
- 树形图（沿枝相乘，跨枝相加）：袋中有 2 颗红弹珠和 1 颗绿弹珠；放回地抽两次。P（每色各一） = (2/3 × 1/3) + (1/3 × 2/3) = 2/9 + 2/9 = 4/9。
- 互斥与否（相加）：掷一颗骰子，P(2 或 5) = 1/6 + 1/6 = 1/3（两者不能同时发生）。从编号 1–10 的卡片中，P(偶数或 3 的倍数) = 5/10 + 3/10 − 1/10 = 7/10（在 6 处重叠，需减去）。
本章考前检查清单
- 先画树形图，并确认从每个节点分出的各枝相加等于 1，例如 5/8 和 3/8，而不是 5/8 和 5/8。
- 在写第二次抽取的分母之前，先确定是放回还是不放回；不放回表示总数减少 1。
- 圈出连接词：“和/且” → 相乘，“或” → 相加，“至少” → 用 1 − P（一个都没有），“恰好” → 数清每一种顺序。
- 公式表已给出 P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)；你只需套用，不必背诵，只有当两个事件能同时发生时才减去重叠部分。
- 让分数保持相同的分母，只在最后一行才化简，这样中途的四舍五入就不会毁掉最后的分数。
- 一个保分习惯：检查最终的概率落在 0 与 1 之间，超过 1 就表示你把该相乘的地方相加了。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
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常见问题
在 Kertas 1 也需要画树形图吗？
Kertas 1 是选择题，时间很紧，画完整的树形图通常太慢。但对任何涉及“和/或”或“不放回”的题目，在旁边快速画个两枝小草图仍然值得，它把“相乘还是相加”的判断变成看得见的东西，而不必在压力下瞎猜。
草图也能帮你迅速核对分母有没有减对。
概率答案该保留几位小数？
能用精确分数就用分数，因为它永远不需要四舍五入，也永远不会错。如果题目要求小数，就照办，通常保留三或四位有效数字。
切勿在树形图计算的中途就四舍五入，一路保留分数，只在最后一行才转换成小数，这样误差才不会累积。
答案可以留成没化简的分数吗？
像 20/56 这样的等值分数通常都会被接受，所以不化简一般不会失分。不过化简成 5/14 更安全、更整齐，也更容易和题目其他部分对照检查。
请在最后一行才化简，而不是在计算过程中化简。