Tingkatan 4 · Statistics and Probability
Kebarangkalian Peristiwa Bergabung
Kebarangkalian peristiwa bergabung mengira kemungkinan dua perkara berlaku, dan sama ada satu mempengaruhi yang lain.
Apakah Kebarangkalian Peristiwa Bergabung?
Bab ini membina atas kebarangkalian asas untuk mengendalikan dua atau lebih peristiwa bersama. Anda belajar perbezaan antara peristiwa tak bersandar dan bersandar, antara saling eksklusif dan tidak saling eksklusif, dan cara menggunakan gambar rajah pokok serta rumus kebarangkalian yang diberi untuk menggabungkannya.
Standard kandungan (DSKP)
DSKP KSSM menetapkan standard kandungan ini untuk bab ini:
- 9.1 Peristiwa Bergabung
- 9.2 Peristiwa Bersandar dan Peristiwa Tak Bersandar
- 9.3 Peristiwa Saling Eksklusif dan Peristiwa Tidak Saling Eksklusif
- 9.4 Aplikasi Kebarangkalian Peristiwa Bergabung
Idea utama
Tak bersandar vs bersandar
Bagi peristiwa tak bersandar satu hasil tidak mengubah yang seterusnya; bagi peristiwa bersandar (seperti mencabut tanpa ganti) ia mengubah.
Gambar rajah pokok
Pokok membentangkan setiap laluan dan kebarangkaliannya. Darab sepanjang cabang, tambah merentas cabang.
Saling eksklusif atau tidak
Peristiwa saling eksklusif tidak boleh berlaku bersama, jadi P(A atau B) = P(A) + P(B); jika tidak anda tolak pertindihan.
Bagaimana bab ini diuji
Kertas 2 gemar gambar rajah pokok: lukisnya, labelkan kebarangkalian, kemudian gabungkannya untuk peristiwa majmuk. Konteks sebenar, guli, cuaca, item rosak, berterusan.
Markah memberi ganjaran kepada pokok yang dilukis jelas sama seperti nombor akhir.
Rumus yang diberi dalam peperiksaan untuk bab ini
Kesilapan lazim untuk dielakkan
- Menambah apabila sepatutnya mendarab sepanjang cabang
- Tidak mengurangkan kebarangkalian pada cabutan kedua peristiwa bersandar
- Terlupa menolak pertindihan bagi peristiwa tidak saling eksklusif
Dua hukum untuk dihafal: hukum pendaraban dan hukum penambahan
Segala-galanya dalam bab ini berjalan atas dua peraturan. Hukum pendaraban mengendalikan 'A dan B kedua-duanya berlaku': bagi peristiwa tak bersandar P(A dan B) = P(A) × P(B), dan di sepanjang mana-mana laluan tunggal gambar rajah pokok anda mendarab kebarangkalian cabang.
Hukum penambahan mengendalikan 'A atau B berlaku': P(A atau B) = P(A) + P(B) − P(A dan B). Penolakan terakhir itu membuang pertindihan yang jika tidak akan dikira dua kali; apabila peristiwa saling eksklusif ia tidak boleh berlaku serentak, pertindihan ialah sifar, dan peraturan itu menjadi P(A) + P(B) yang mudah.
Menentukan hukum mana yang diperlukan sebenarnya menentukan sama ada soalan mencantumkan peristiwa dengan 'dan' atau dengan 'atau'.
Jalan pintas 'sekurang-kurangnya satu'
Apabila soalan meminta kebarangkalian 'sekurang-kurangnya satu' kejayaan, sekurang-kurangnya satu bola merah, sekurang-kurangnya satu kepala, sekurang-kurangnya satu barang cacat, menyenaraikan setiap kes yang menang lambat dan mudah tersilap. Ada jalan pintas yang hampir selalu menang: 'sekurang-kurangnya satu' ialah lawan tepat 'tiada', jadi P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada).
Anda kira kebarangkalian tunggal mendapat sifar kejayaan, kemudian tolak daripada 1. Untuk dua cabutan tanpa gantian, 'sekurang-kurangnya satu biru' menjadi 1 − P(kedua-dua bukan biru) = 1 − P(kedua-dua merah).
Satu kiraan pendek menggantikan tiga. Setiap kali anda nampak perkataan 'sekurang-kurangnya', capai pelengkap dahulu.
Pokok yang sama, soalan berbeza: memilih apa untuk dicantumkan
Satu gambar rajah pokok boleh menjawab beberapa bahagian soalan, dan kemahirannya ialah memilih laluan yang betul untuk setiap bahagian. Mula-mula lukis pokok itu sepenuhnya dan tulis kebarangkalian pada setiap cabang, memastikan cabang yang meninggalkan setiap titik berjumlah 1.
Kemudian, bagi setiap bahagian, tanya dua soalan: hasil akhir mana yang dikira sebagai kejayaan, dan bagaimana ia dicapai? Darab di sepanjang setiap laluan yang berjaya untuk mendapat kebarangkaliannya, kemudian tambah kebarangkalian semua laluan yang berjaya.
'Kedua-dua warna sama' bermaksud tambah laluan semua-merah dan laluan semua-biru; 'warna berbeza' bermaksud tambah laluan merah-kemudian-biru dan biru-kemudian-merah. Membina pokok sekali dan memilih laluan dengan teliti lebih baik daripada mula semula bagi setiap bahagian.
Contoh gaya peperiksaan berjawab
Masalah cabutan tanpa gantian, jenis yang memberi ganjaran kepada gambar rajah pokok yang jelas.
- Terdapat 5 + 3 = 8 guli. Kerana guli pertama tidak dikembalikan, cabutan kedua hanya daripada 7 guli, jadi penyebut turun daripada 8 ke 7.
- (a) Kedua-dua merah: P(merah kemudian merah) = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14.
- (b) Warna berbeza mempunyai dua laluan. P(merah kemudian biru) = 5/8 × 3/7 = 15/56 dan P(biru kemudian merah) = 3/8 × 5/7 = 15/56. Tambahkannya: 15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28.
- (c) Guna pelengkap. 'Sekurang-kurangnya satu biru' ialah lawan 'tiada biru', iaitu kedua-dua merah. P(sekurang-kurangnya satu biru) = 1 − P(kedua-dua merah) = 1 − 5/14 = 9/14.
Cara mengulang bab ini
Ulang kaji Kebarangkalian Peristiwa Bergabung
Kaedah
Istilah utama
Soalan lazim
Bagaimana bab ini diuji
Matematik SPM menguji bab ini merentasi Matematik Kertas 1 (Objektif) dan Matematik Kertas 2 (Subjektif), berdasarkan standard kandungan DSKP di atas. Kertas 2 memberi markah untuk kerja, jadi menunjukkan setiap langkah penting.
Kesilapan lazim untuk dielakkan
Menambah apabila sepatutnya mendarab sepanjang cabang; Tidak mengurangkan kebarangkalian pada cabutan kedua peristiwa bersandar; Terlupa menolak pertindihan bagi peristiwa tidak saling eksklusif.
Rumus yang diberi dalam peperiksaan untuk bab ini
Ya, Kebarangkalian sesuatu peristiwa, Peristiwa pelengkap muncul pada helaian rumus yang diberi peperiksaan. Selebihnya dalam bab ini anda dijangka tahu.
Bagaimana saya tentukan sama ada untuk tambah atau darab?
Darab apabila anda bergerak di sepanjang satu laluan pokok, mencantum peringkat dengan 'dan' ini berlaku dan kemudian itu berlaku. Tambah apabila anda mencantum beberapa laluan berasingan yang setiapnya dikira kejayaan, dicantum dengan 'atau'.
Semakan pantas: mendarab menjadikan kebarangkalian lebih kecil, sesuai dengan 'kedua-dua berlaku'; menambah menjadikannya lebih besar, sesuai dengan 'mana-mana satu'.
Bagaimana saya tahu sama ada dengan gantian atau tanpa gantian?
Baca ayat dengan teliti. Jika sesuatu barang 'dikembalikan' atau 'diganti' sebelum cabutan seterusnya, ia dengan gantian: jumlah kekal sama dan peristiwa tak bersandar.
Jika ia 'tidak dikembalikan', atau dua barang diambil serentak, ia tanpa gantian: penyebut kedua turun satu dan peristiwa saling bersandar.
Apakah cara terpantas mengendalikan 'sekurang-kurangnya satu'?
Guna pelengkap. 'Sekurang-kurangnya satu' ialah lawan 'tiada', jadi kira kebarangkalian mendapat tiada langsung benda itu dan tolak daripada 1.
Ini menukar jumlah panjang beberapa kes kepada satu kiraan pendek, dan jauh lebih sukar untuk tertinggal sesuatu kes secara tidak sengaja.
Sumber:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)· SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)
Dapatkan bantuan dengan Kebarangkalian Peristiwa Bergabung
Satu-ke-satu, dalam Bahasa Inggeris, dengan kerja anda disemak baris demi baris.
Dapatkan bantuan dengan Kebarangkalian Peristiwa Bergabung