组合事件的概率 · 中四
组合事件的概率：例题（中等）
在两三步中综合运用技巧：有重叠的加法定则、以乘法处理独立事件，以及不放回的相依抽取。适合准备把概念串联起来的学生。
例题 1
从整数 1 到 20 中随机选一个数。求这个数是 3 的倍数或 5 的倍数的概率。
- 1–20 中 3 的倍数：{3, 6, 9, 12, 15, 18} → 6 个数。
- 1–20 中 5 的倍数：{5, 10, 15, 20} → 4 个数。
- 两者共有（15 的倍数）：{15} → 1 个数，被数了两次。
- P(3 或 5) = P(3) + P(5) − P（两者） = 6/20 + 4/20 − 1/20 = 9/20。
例题 2
一个游戏转盘停在 “赢” 的概率是 0.3。转两次，两次结果相互独立。
求恰好赢一次的概率。
- P（赢） = 0.3，所以 P（输） = 1 − 0.3 = 0.7。
- 恰好赢一次有两种情况：（赢，输）或（输，赢）。
- P = (0.3 × 0.7) + (0.7 × 0.3) = 0.21 + 0.21。
- = 0.42。
例题 3
一个盒子里有 5 支红笔和 3 支黄笔。不放回地一支接一支取出两支笔。
求两支都是红色的概率。
- 笔的总数 = 5 + 3 = 8，所以 P（第一支红） = 5/8。
- 一支红笔已取走：7 支笔中剩 4 支红，所以 P（第二支红） = 4/7。
- 相依事件，沿着分支相乘：5/8 × 4/7 = 20/56。
- 化简：20/56 = 5/14。
例题 4
从整数 1 到 30 中随机选一个数。求这个数是 4 的倍数或 6 的倍数的概率。
- 4 的倍数：4、8、12、16、20、24、28 → 7 个。
- 6 的倍数：6、12、18、24、30 → 5 个。
- 同时是 4 和 6 的倍数（即 12 的倍数）：12、24 → 2 个。
- P(4 或 6) = (7 + 5 − 2) ÷ 30 = 10/30 = 1/3。
例题 5
掷一枚公平的硬币并掷一颗公平的骰子。求硬币出现正面且骰子出现大于 4 的数字的概率。
- 这两个事件是独立的。
- P（正面） = 1/2。
- P(大于 4 的数字) = P(5 或 6) = 2/6 = 1/3。
- P(正面且 >4) = 1/2 × 1/3 = 1/6。
例题 6
一个盒子里有 4 个绿球和 6 个蓝球。不放回地一个接一个取出两个球。
求两个球颜色相同的概率。
- 总球数 = 10。
- P（两个都绿） = 4/10 × 3/9 = 12/90。
- P（两个都蓝） = 6/10 × 5/9 = 30/90。
- P（同色） = 12/90 + 30/90 = 42/90 = 7/15。
例题 7
一家工厂有两个独立的报警系统保护一座仓库。触发时，A 报警器正常工作的概率为 0.9，B 报警器正常工作的概率为 0.85。
求触发时至少有一个报警器正常工作的概率。
- P（至少一个正常工作） = 1 − P（两个都失灵）
- P(A失灵) = 1 − 0.9 = 0.1；P(B失灵) = 1 − 0.85 = 0.15
- P（两个都失灵） = 0.1 × 0.15 = 0.015
- P（至少一个正常工作） = 1 − 0.015 = 0.985
例题 8
一个抽屉里有 9 只黑袜子和 3 只白袜子。不放回地依次随机取出两只袜子，求这两只袜子颜色不同的概率。
- 颜色不同意味着「黑后白」或「白后黑」
- P（黑后白） = (9/12) × (3/11) = 27/132
- P（白后黑） = (3/12) × (9/11) = 27/132
- P（颜色不同） = 27/132 + 27/132 = 54/132 = 9/22
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
常见问题
中等难度的复合事件题目通常怎么考？
中等难度的题目通常涉及「不放回」的两个事件树状图，例如从同一个盒子里连续取出两个球或两张卡，取出第一个后不放回去。第二个分支的概率必须重新调整，因为物品总数（可能还有该类型的数量）已经改变了。
怎样画概率树状图才能拿到满分？
每一个分支都要标上对应的概率，同一起点的所有分支概率之和必须等于 1。沿着每条完整路径把概率相乘，得出该路径的组合概率，再把符合题目所问事件的所有路径概率相加。
清楚展示这个过程才是拿到方法分的关键，而不只是最后的答案。
不放回概率题目中，学生最常犯什么错误？
最常见的错误是两次抽取都用相同的概率，忘记取走一个物品后总数（以及该类型的数量，如果取出的是同类型）已经改变。写第二个分支的概率之前，务必重新检查分母（如果取出同类型，分子也要检查）。