未分组数据的离散量度：复习笔记

核心要点

需复习的核心概念

1. 全距与四分位距. 全距最简单但对离群值敏感；四分位距看中间一半，更稳定。
2. 方差与标准差. 它们度量围绕平均值的分散。标准差是方差的平方根，与数据同单位。
3. 两个公式，一个答案. 方差可用 Σ(x − x̄)² / N 或更快的 Σx²/N − x̄² 求出，两者考试都提供。

每个核心概念一个速算示范

1. 全距（从最小到最大的分散）：对于 3、5、8、12、20，全距 = 最大值 − 最小值 = 20 − 3 = 17。
2. 四分位距（中间一半的分散）：排序为 4、6、7、9、10、12、15。中位数 Q2 = 9，下半部中位数 Q1 = 6，上半部中位数 Q3 = 12，因此四分位距 = Q3 − Q1 = 12 − 6 = 6。
3. 用离差公式 Σ(x − x̄)²/N 求方差：对于 2、4、6，平均数 x̄ = 4，所以 Σ(x − x̄)² = 4 + 0 + 4 = 8，方差 = 8/3 = 2.667。
4. 标准差是方差的平方根，并保留数据本身的单位：σ = √2.667 = 1.633。
5. 简便公式 Σx²/N − x̄² 必须得到同一个数：对于 2、4、6，Σx² = 56，所以 56/3 − 4² = 18.667 − 16 = 2.667。与离差公式完全一致。

本章考前检查清单

1. 考前一晚用三个数的小数据把两个方差公式各推一遍，确认 Σ(x − x̄)²/N 与 Σx²/N − x̄² 结果一致，考试赶时间时再用较短的那个。
2. 考试的公式表会给你两个方差公式以及 σ = √方差；但不会给你平均数、四分位位置或现成的表格，所以要预留时间自己建立这些。
3. 求全距和四分位距时，每一次都要先把数据排序；未排序的数列是四分位算错最常见的原因。
4. 把平均数以精确分数或长小数存在计算器记忆里；在平方之前就把 x̄ 四舍五入，会悄悄毁掉整个方差。
5. 最省分的一个习惯：动任何公式之前，先列出 x 栏和 x² 栏并写出总和 Σx 与 Σx²，答案随后从这两个和直接读出。
6. 重读题目最后一行：圈出它要的是方差还是标准差，只有当它要标准差时才开平方根。

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)