未分组数据的离散量度 · 中四
未分组数据的离散量度：练习题
未分组数据的离散量度 的原创 SPM 风格练习题，每题附完整解答，试卷一选择题与试卷二结构题。
未分组数据的离散量度 的原创练习题，仿 数学试卷一（客观题） 与 数学试卷二（主观题） 的风格。每题都有解答，方便你检查方法而不只是结果。
选择题（试卷一风格）
题 1
下列数据显示某球队在 6 场比赛中的进球数：12、7、19、4、15、9。这组数据的全距是多少？
- A. 12
- B. 15
- C. 19
- D. 23
题 2
六个夜晚记录的最低气温（单位：°C）为 −3、5、−8、2、7、−1。求气温的全距。
- A. 8
- B. 12
- C. 15
- D. 16
题 3
一组数据的标准差为 0。关于这组数据，下列哪项陈述是正确的？
- A. 所有数值都相等
- B. 所有数值都是零
- C. 数据的平均数是零
- D. 数据的全距是最大可能值
题 4
一组 5 个数据的 Σx = 40，Σx² = 370。求这组数据的方差。
- A. 8
- B. 10
- C. 64
- D. 74
题 5
求数据 2、4、6、8、10 的标准差。（答案准确到小数点后两位。）
- A. 2.00
- B. 2.83
- C. 6.00
- D. 8.00
题 6
数据组 3、5、7、9 的平均数为 6。计算它的方差。
- A. 4
- B. 5
- C. 6
- D. 20
题 7
某组全距为 18 的数据，每个数值都加上 6。新数据组的全距是多少？
- A. 6
- B. 18
- C. 24
- D. 108
题 8
一组数据的标准差为 4。若每个数值都乘以 3，新的标准差是多少？
- A. 4
- B. 7
- C. 12
- D. 36
题 9
变量 x 的标准差为 5。定义新变量 y = 2x + 3。
求 y 的标准差。
- A. 5
- B. 10
- C. 13
- D. 25
结构题（试卷二风格）
题 1 (6 分)
5 个包裹的质量（单位：kg）为 5、7、8、9 和 11。 (a) 计算这些包裹的平均质量。
(b) 计算质量的方差。 (c) 由此求质量的标准差。
- 平均数 x̄ = Σx ÷ N = (5 + 7 + 8 + 9 + 11) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8 kg。
- 求每个数值与平均数的偏差：5−8=−3，7−8=−1，8−8=0，9−8=1，11−8=3。
- 方差 = Σ(x − x̄)² ÷ N = [(−3)² + (−1)² + 0² + 1² + 3²] ÷ 5 = (9 + 1 + 0 + 1 + 9) ÷ 5 = 20 ÷ 5 = 4 kg²。
- 标准差 = √（方差） = √4 = 2 kg。
题 2 (7 分)
7 名学生在一次数学测验中所得的分数为 9、11、13、15、17、19 和 21。 (a) 求分数的全距。
(b) 计算平均分。 (c) 利用公式 方差 = Σx²/N − x̄²，计算分数的方差并由此求标准差。
- 全距 = 最大值 − 最小值 = 21 − 9 = 12 分。
- 平均数 x̄ = Σx ÷ N = (9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21) ÷ 7 = 105 ÷ 7 = 15 分。
- Σx² = 9² + 11² + 13² + 15² + 17² + 19² + 21² = 81 + 121 + 169 + 225 + 289 + 361 + 441 = 1687。
- 方差 = Σx²/N − x̄² = 1687/7 − 15² = 241 − 225 = 16 分²。
- 标准差 = √16 = 4 分。
题 3 (5 分)
五个数 6、9、x、12 和 8 的平均数为 9。 (a) 求 x 的值。
(b) 利用此值，计算这五个数的标准差。
- 平均数 = Σx ÷ N，所以 (6 + 9 + x + 12 + 8) ÷ 5 = 9。
- 35 + x = 45，因此 x = 10。
- 这五个数为 6、9、10、12、8。与平均数 9 的偏差为：−3、0、1、3、−1。
- 方差 = [(−3)² + 0² + 1² + 3² + (−1)²] ÷ 5 = (9 + 0 + 1 + 9 + 1) ÷ 5 = 20 ÷ 5 = 4。
- 标准差 = √4 = 2。
题 4 (6 分)
某地 6 个月月降雨量（单位：mm）的数据，平均数为 120 mm，标准差为 15 mm。 (a) 后来发现每个读数都少记了 8 mm。
写出修正后的平均数和修正后的标准差。 (b) 若将原始读数每个乘以 0.1 换算为厘米，写出以厘米为单位的平均数和标准差。
(c) 解释为什么标准差在 (b) 中改变而在 (a) 中不变。
- (a) 每个读数加 8 mm 会使平均数增加 8，但不改变离散程度。修正后平均数 = 120 + 8 = 128 mm；修正后标准差 = 15 mm。
- (b) 每个数值乘以 0.1 会使平均数和标准差都乘以 0.1。平均数 = 120 × 0.1 = 12 cm；标准差 = 15 × 0.1 = 1.5 cm。
- (c) 加一个常数会使所有数据平移相同的量，因此每个与平均数的距离不变；乘以一个常数会缩放每个与平均数的距离，因此离散程度（标准差）也随之缩放。
资料来源:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)
常见问题
这套练习里的第一卷和第二卷题目有什么不同？
第一卷是选择题，快速考查你能否求出一组未分组数据的全距、方差或标准差。第二卷是结构式作答题，要求你完整写出计算方差与标准差的步骤，并比较两组数据，判断哪一组的分布更集中、更稳定，这也是第二卷评分看重的地方。
为什么要先自己完整作答，再看示范解答？
自己动手算一遍，才能清楚看出问题出在哪一步，是求平均数、求离均差，还是平方求和的步骤。如果一开始就看示范解答，看起来像懂了，却无法养成第二卷真正会给分的、有条理地写出方差与标准差计算过程的习惯。
未分组数据离差题最常见的错误有哪些？
学生常常忘记先把每个离均差平方再求平均，或者算到方差就停下，忘了开平方才是标准差。另一个常见错误是只用平均数来比较两组数据，而忽略了标准差较小的那一组数据其实分布更集中、更稳定，这一点在结构题的比较作答中特别重要。