未分组数据的离散量度

两个班可以有相同的平均分，感觉却完全不同，一个聚拢，一个分散。本章用全距、四分位距、方差与标准差来度量未分组数据的这种分散，并说明每一个各有什么用。

试卷二给一列数值，先求平均值，再求一个分散量，常见的是用试卷提供的公式求标准差。算术是失分处，因此列出清晰的表格很值得。

全距只看两个数，最大值和最小值，所以一个异常值就能把它撑大，却完全说不出其他数值的情况。标准差用上每一个数值：它衡量每个数值平均离平均数有多远，这正是考试倚重它的原因。

想象两个班级平均分相同：分数紧紧聚在平均数附近的班级标准差小，而分数从很低散到很高的班级标准差大。中心相同，故事却大不相同，只有标准差（或四分位距）能捕捉这个差别。

考试爱玩的花样是把每个数值都做相同改变，再问平均数和标准差如何变化。两条规则就够用。

第一，若给每个数值加上常数 c，整组数沿数轴平移：平均数增加 c，但离散程度完全不变，所以标准差保持不变。第二，若把每个数值乘以常数 k，平均数乘以 k，标准差乘以 k 的大小（绝对值），而方差乘以 k²。

所以给每人加 5 分不会改变标准差；把每人的分数翻倍则标准差也翻倍。看出这一点就不必从头重算。

算错量度很容易失分，所以要看指令词。若题目说“全距”，用最大值减最小值，一行搞定。

若说“四分位距”，你需要第一和第三四分位数，先把数据排序，找中位数，再找每一半的中间值；答案是 Q3 − Q1。若说“方差”，停在平方那一步，别开根号；若说“标准差”，最后一定要开平方根。

当第二卷题目已经给了 Σx 和 Σx²，那强烈暗示它要用 σ² = Σx²/N − x̄² 公式求平均数和标准差，而不是逐个求离差。

一列简短的分数，经典的“先求平均数再求标准差”组合。