Tingkatan 4 · Statistics and Probability
Sukatan Serakan bagi Data Tak Terkumpul
Purata memberitahu anda pusat; serakan memberitahu anda sebaran. Bab ini mengukur betapa berselerak sesuatu set data.
Apakah Sukatan Serakan bagi Data Tak Terkumpul?
Dua kelas boleh mempunyai markah purata yang sama tetapi terasa sama sekali berbeza, satu berkumpul, satu tersebar. Bab ini mengukur sebaran itu untuk data tak terkumpul menggunakan julat, julat antara kuartil, varians dan sisihan piawai, dan menunjukkan kegunaan setiap satu.
Standard kandungan (DSKP)
DSKP KSSM menetapkan standard kandungan ini untuk bab ini:
- 8.1 Serakan
- 8.2 Sukatan Serakan
Idea utama
Julat dan julat antara kuartil
Julat paling ringkas tetapi sensitif kepada titik terpencil; julat antara kuartil melihat separuh tengah dan lebih stabil.
Varians dan sisihan piawai
Ini mengukur sebaran di sekitar min. Sisihan piawai ialah punca kuasa dua varians dan berkongsi unit data.
Dua rumus, satu jawapan
Varians boleh dicari daripada Σ(x − x̄)² / N atau yang lebih pantas Σx²/N − x̄², kedua-duanya diberi dalam peperiksaan.
Bagaimana bab ini diuji
Kertas 2 memberi senarai nilai dan meminta min, kemudian ukuran sebaran, lazimnya sisihan piawai menggunakan rumus yang diberi kertas. Aritmetik ialah tempat markah tergelincir, jadi menyusun jadual yang jelas berbaloi.
Rumus yang diberi dalam peperiksaan untuk bab ini
Kesilapan lazim untuk dielakkan
- Terlupa mengambil punca kuasa dua untuk sisihan piawai
- Membahagi dengan N yang salah
- Membundarkan terlalu awal dan membawa ralat sepanjang pengiraan
Mengapa sisihan piawai mengatasi julat
Julat hanya melihat dua nombor, nilai terbesar dan terkecil, jadi satu nilai luar biasa boleh membesarkannya tanpa memberitahu apa-apa tentang nilai lain. Sisihan piawai menggunakan setiap nilai: ia mengukur, secara purata, sejauh mana setiap nilai daripada min.
Itulah sebabnya peperiksaan bergantung padanya. Bayangkan dua kelas dengan min markah yang sama.
Kelas yang markahnya berkumpul rapat dekat min mempunyai sisihan piawai kecil, manakala kelas yang markahnya bertaburan dari sangat rendah ke sangat tinggi mempunyai sisihan piawai besar. Pusat yang sama, cerita yang sangat berbeza, dan hanya sisihan piawai (atau julat antara kuartil) menangkap perbezaan itu.
Apa yang berlaku pada sebaran apabila setiap nilai ditambah atau didarab
Helah kegemaran peperiksaan ialah mengubah setiap nilai dengan cara yang sama dan bertanya apa yang berlaku pada min dan sisihan piawai. Dua peraturan merangkuminya.
Pertama, jika anda menambah pemalar c pada setiap nilai, keseluruhan set beralih di sepanjang garis nombor: min bertambah sebanyak c, tetapi sebaran langsung tidak berubah, jadi sisihan piawai kekal sama. Kedua, jika anda mendarabkan setiap nilai dengan pemalar k, min didarab dengan k dan sisihan piawai didarab dengan saiz k (nilai mutlaknya), manakala varians didarab dengan k².
Jadi menambah 5 markah kepada semua orang tidak mengubah sisihan piawai; menggandakan markah semua orang menggandakannya. Mengenali perkara ini menjimatkan anda daripada mengira semula dari mula.
Membaca soalan: ukuran sebaran mana yang dikehendaki?
Markah mudah hilang kerana mengira ukuran yang salah, jadi baca kata perintah. Jika soalan menyebut 'julat', tolak nilai terkecil daripada terbesar, satu baris.
Jika ia menyebut 'julat antara kuartil', anda perlukan kuartil pertama dan ketiga, jadi susun data, cari median, kemudian tengah setiap separuh; jawapannya ialah Q3 − Q1. Jika ia menyebut 'varians', berhenti pada angka kuasa dua dan jangan ambil punca; jika ia menyebut 'sisihan piawai', anda mesti ambil punca kuasa dua pada akhirnya.
Apabila soalan Kertas 2 sudah memberi anda Σx dan Σx², itu petunjuk kuat ia mahukan min dan sisihan piawai melalui formula σ² = Σx²/N − x̄², bukan kiraan sisihan satu demi satu.
Contoh gaya peperiksaan berjawab
Satu senarai pendek markah, pasangan klasik 'cari min kemudian sisihan piawai'.
- Bilang nilai: N = 6. Jumlahkan: Σx = 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 11 = 42.
- Min x̄ = Σx ÷ N = 42 ÷ 6 = 7.
- Kuasa duakan setiap nilai dan jumlahkan: Σx² = 3² + 5² + 6² + 8² + 9² + 11² = 9 + 25 + 36 + 64 + 81 + 121 = 336.
- Varians σ² = Σx²/N − x̄² = 336 ÷ 6 − 7² = 56 − 49 = 7.
- Sisihan piawai σ = √(varians) = √7 = 2.65 (3 a.b.).
Cara mengulang bab ini
Ulang kaji Sukatan Serakan bagi Data Tak Terkumpul
Soalan lazim
Bagaimana bab ini diuji
Matematik SPM menguji bab ini merentasi Matematik Kertas 1 (Objektif) dan Matematik Kertas 2 (Subjektif), berdasarkan standard kandungan DSKP di atas. Kertas 2 memberi markah untuk kerja, jadi menunjukkan setiap langkah penting.
Kesilapan lazim untuk dielakkan
Terlupa mengambil punca kuasa dua untuk sisihan piawai; Membahagi dengan N yang salah; Membundarkan terlalu awal dan membawa ralat sepanjang pengiraan.
Rumus yang diberi dalam peperiksaan untuk bab ini
Ya, Min (tak terkumpul), Varians (tak terkumpul), Sisihan piawai (tak terkumpul) muncul pada helaian rumus yang diberi peperiksaan. Selebihnya dalam bab ini anda dijangka tahu.
Adakah saya bahagi dengan N atau N − 1 untuk sisihan piawai?
Untuk SPM 1449 anda sentiasa bahagi dengan N, iaitu bilangan nilai, bagi kedua-dua varians dan sisihan piawai. Versi n − 1 yang mungkin anda lihat di tempat lain untuk sampel dalam statistik lebih tinggi dan tidak digunakan di sini.
Gunakan formula tepat seperti diberi dalam helaian formula SPM, dengan N di bawah.
Formula varians manakah patut saya guna dalam peperiksaan?
Kedua-dua formula memberi jawapan yang sama, jadi gunakan mana yang lebih pantas. Bentuk Σx²/N − x̄² biasanya lebih cepat kerana anda hanya perlukan dua jumlah lajur dan tidak perlu menolak min daripada setiap nilai.
Simpan bentuk sisihan, Σ(x − x̄)²/N, untuk apabila min ialah nombor bulat dan senarainya sangat pendek.
Bolehkah sisihan piawai menjadi negatif?
Tidak. Ia ialah punca kuasa dua bagi hasil tambah kuantiti berkuasa dua dibahagi N, dan kuasa dua tidak pernah negatif, jadi sisihan piawai sentiasa sifar atau positif.
Jika kiraan anda menghasilkan nilai negatif, anda telah tersilap kira, selalunya tersalah menolak x̄². Ia sifar hanya apabila setiap nilai adalah sama.
Sumber:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)· SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)
Dapatkan bantuan dengan Sukatan Serakan bagi Data Tak Terkumpul
Satu-ke-satu, dalam Bahasa Inggeris, dengan kerja anda disemak baris demi baris.
Dapatkan bantuan dengan Sukatan Serakan bagi Data Tak Terkumpul