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未分组数据的离散量度 · 中四

未分组数据的离散量度：例题（KBAT）

离散度概念被隐藏的真实情境，挑选更可靠的员工、还原缺失的数值、以及调整分数。帮助学生判断题目真正要求的是哪个量。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

例题 1

一家速递公司记录了两名骑手在同一路线上的用时（分钟）。阿里：20、24、22、26、28。

阿明：18、30、24、20、28。经理想要更可靠的骑手。

应选谁，为什么？

  1. 阿里平均值 = 120/5 = 24 分钟；阿明平均值 = 120/5 = 24 分钟，相同，所以仅凭平均值无法决定；需比较离散程度。
  2. 阿里：Σx² = 400+576+484+676+784 = 2920；方差 = 2920/5 − 24² = 584 − 576 = 8；标准差 = √8 ≈ 2.83 分钟。
  3. 阿明：Σx² = 324+900+576+400+784 = 2984；方差 = 2984/5 − 24² = 596.8 − 576 = 20.8；标准差 = √20.8 ≈ 4.56 分钟。
  4. 阿里的标准差较小，所以他的送达时间波动更小、更易预测。

例题 2

5个包裹的平均质量为10千克。其中4个的质量为8、10、12和16千克。

求第五个包裹的质量，再求五个质量的全距和标准差。

  1. 总质量 = 平均值 × N = 10 × 5 = 50 千克。
  2. 第五个包裹 = 50 − (8+10+12+16) = 50 − 46 = 4 千克。
  3. 数据为 4、8、10、12、16。全距 = 16 − 4 = 12 千克。
  4. Σx² = 16+64+100+144+256 = 580；方差 = 580/5 − 10² = 116 − 100 = 16。
  5. 标准差 = √16 = 4 千克。

例题 3

6名学生在一次测验中得到8、10、11、13、16和20分。在调整分数时，老师给每名学生加4分。

求新的平均值和新的标准差，并对离散程度作出评论。

  1. 原平均值 = 78/6 = 13；原 Σx² = 64+100+121+169+256+400 = 1110；方差 = 1110/6 − 13² = 185 − 169 = 16；标准差 = √16 = 4。
  2. 给每个分数加4会使每个数值同等增大，所以新平均值 = 13 + 4 = 17。
  3. 因为每个分数都平移相同的4，分数之间的差距不变，所以方差和标准差保持不变。
  4. 验证：新数据 12、14、15、17、20、24;Σx² = 1830；方差 = 1830/6 − 17² = 305 − 289 = 16；标准差 = √16 = 4。

例题 4

五名学生的测验分数为 5、8、9、11 和 12。老师决定把每个分数加倍作为缩放。

求 (a) 原始分数的标准差，及 (b) 加倍后分数的平均数和标准差，并说明加倍如何影响标准差。

  1. 原始平均数 = (5 + 8 + 9 + 11 + 12) ÷ 5 = 45 ÷ 5 = 9。
  2. 离差平方：16、1、0、4、9；和 = 30；方差 = 6。
  3. (a) 标准差 = √6 ≈ 2.45。
  4. (b) 每个分数加倍：新平均数 = 2 × 9 = 18；新标准差 = 2 × √6 = √24 ≈ 4.90。
  5. 把每个值乘以 2，会使平均数和标准差都乘以 2。

例题 5

四只小猫的质量（以千克计）为 4、6、8 和一个未知质量。四只小猫的平均质量为 7 千克。

求 (a) 未知质量，及 (b) 四个质量的标准差，准确到两位小数。

  1. (a) 四个质量之和 = 平均数 × n = 7 × 4 = 28。
  2. 未知质量 = 28 − (4 + 6 + 8) = 28 − 18 = 10 千克。
  3. (b) 关于 7 的离差平方：(4−7)² = 9，(6−7)² = 1，(8−7)² = 1，(10−7)² = 9；和 = 20。
  4. 方差 = 20 ÷ 4 = 5；标准差 = √5 ≈ 2.24 千克。

例题 6

一家工厂检查两台灌装 500 克 包装的机器。机器 A 的五个样本（以克计）为 498、500、502、500、500，机器 B 的五个为 495、505、500、490、510。

通过比较各自的平均数和标准差，判断哪台机器更可靠。

  1. 机器 A 平均数 = 2500 ÷ 5 = 500 克；机器 B 平均数 = 2500 ÷ 5 = 500 克（平均数相同）。
  2. 机器 A 离差平方：4、0、4、0、0；和 = 8；方差 = 1.6；标准差 = √1.6 ≈ 1.26 克。
  3. 机器 B 离差平方：25、25、0、100、100；和 = 250；方差 = 50；标准差 = √50 ≈ 7.07 克。
  4. 两者都达到目标平均数 500 克，但机器 A 的标准差小得多，所以机器 A 更可靠。

例题 7

一家咖啡馆连续 5 天的每日顾客人数经记录后，平均数为 20，标准差为 6。后来发现其中一天的人数被误记为 30，实际应为 20。

求正确的平均数和正确的标准差。

  1. 根据错误数据：Σx = 平均数 × n = 20 × 5 = 100
  2. 根据错误数据：方差 = 6² = 36，所以 Σx² = (方差 + 平均数²) × n = (36+400) × 5 = 2180
  3. 正确的 Σx = 100 − 30 + 20 = 90；正确平均数 = 90/5 = 18
  4. 正确的 Σx² = 2180 − 30² + 20² = 2180 − 900 + 400 = 1680
  5. 正确方差 = 1680/5 − 18² = 336 − 324 = 12；正确标准差 = √12 = 3.46（两位小数）

例题 8

一名学生 5 次测验（满分 50 分）的成绩为 10、12、14、16、18。在第六次测验中，该生取得了异常高的 38 分。

求 (a) 仅前 5 次测验成绩的标准差，(b) 全部 6 次测验成绩的标准差，并说明第六次成绩对数据离散程度的影响。

  1. (a) 前 5 次的平均数 = (10+12+14+16+18)/5 = 70/5 = 14
  2. Σx²（前 5 次） = 100+144+196+256+324 = 1020；方差 = 1020/5 − 14² = 204 − 196 = 8；标准差 = √8 = 2.83（两位小数）
  3. (b) 全部 6 次的平均数 = (70+38)/6 = 108/6 = 18
  4. Σx²（全部 6 次） = 1020 + 38² = 1020 + 1444 = 2464；方差 = 2464/6 − 18² = 410.67 − 324 = 86.67；标准差 = √86.67 = 9.31（两位小数）
  5. 标准差从 2.83 大幅升至 9.31，说明第六次异常高的成绩大大增加了数据的离散程度。

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

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常见问题

离散量数的 KBAT 题目通常会怎么出？

KBAT 题目通常给出两组真实数据，例如两名学生的成绩或两台机器的产量，要求你判断哪一组更稳定或整体表现更好。你需要分别算出两组数据的平均数和标准差，然后综合两者做出有根据的判断，而不是只把数字写出来就算完成。

在离散量数的 KBAT 答题中，考官实际看重什么？

得分关键在于写出一句完整的结论，把算出的数值与题目要求连结起来，例如说明哪一组的平均数较高、哪一组的标准差较小，再解释这在题目情境中代表什么意思。只写出正确的数字，没有解释性的句子，是拿不到满分的。

离散量数 KBAT 题目最常见的失分原因是什么？

很多学生正确算出平均数和标准差后就停笔，没有写出回答题目问题的结论句。也有学生只比较平均数或只比较标准差，而不是两者都比较。

作答时务必以完整的一句话收尾，清楚说明哪一组更稳定以及原因。

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