未分组数据的离散量度 · 中四
未分组数据的离散量度：例题（中等）
两到三步的问题：先求平均值，再求方差和标准差，并比较两组数据的离散程度。帮助学生把公式与判断稳定性联系起来。
例题 1
5个西瓜的质量（千克）为 4、6、7、8、10。先求平均值，再求这些质量的标准差。
- N = 5。平均值 = (4+6+7+8+10)/5 = 35/5 = 7 千克。
- Σx² = 4²+6²+7²+8²+10² = 16+36+49+64+100 = 265。
- 方差 = Σx²/N − 平均值² = 265/5 − 7² = 53 − 49 = 4。
- 标准差 = √4 = 2 千克。
例题 2
两名球员记录了5场比赛的进球数。球员A:3、5、6、7、9。
球员B:2、4、6、8、10。用标准差判断谁更稳定。
- 平均值：A = 30/5 = 6;B = 30/5 = 6，平均值相同，因此比较离散程度。
- 球员A:Σx² = 9+25+36+49+81 = 200；方差 = 200/5 − 6² = 40 − 36 = 4；标准差 = √4 = 2。
- 球员B:Σx² = 4+16+36+64+100 = 220；方差 = 220/5 − 6² = 44 − 36 = 8；标准差 = √8 ≈ 2.83。
- 球员A的标准差较小，所以A的进球数波动较小。
例题 3
一名教练记录，6名投球手中，Σx = 60,Σx² = 654，其中 x 是投进的球数。求平均值、方差和标准差。
- N = 6。平均值 = Σx/N = 60/6 = 10。
- 方差 = Σx²/N − 平均值² = 654/6 − 10² = 109 − 100 = 9。
- 标准差 = √方差 = √9 = 3。
例题 4
一家商店在 5 天内售出的单位数为 8、11、7、10 和 14。利用 Σx 和 Σx²，求平均数和方差。
- Σx = 8 + 11 + 7 + 10 + 14 = 50，所以平均数 = 50 ÷ 5 = 10。
- Σx² = 64 + 121 + 49 + 100 + 196 = 530。
- 方差 = Σx²/n − （平均数）² = 530 ÷ 5 − 10²。
- 方差 = 106 − 100 = 6。
例题 5
8 个数的平均数是 5，这些数的平方和 Σx² 是 250。求标准差。
- 方差 = Σx²/n − （平均数）² = 250 ÷ 8 − 5²。
- 方差 = 31.25 − 25 = 6.25。
- 标准差 = √6.25 = 2.5。
例题 6
在一次射箭测验中，射手 P 在五轮中得分为 6、7、8、9、10，射手 Q 得分为 4、6、8、10、12。两人的平均分相同。
通过计算各自的标准差，判断哪位射手更稳定。
- 两者平均分 = 40 ÷ 5 = 8。
- 射手 P 离差平方：4、1、0、1、4；和 = 10；方差 = 2；标准差 = √2 ≈ 1.41。
- 射手 Q 离差平方：16、4、0、4、16；和 = 40；方差 = 8；标准差 = √8 ≈ 2.83。
- P 的标准差较小，所以射手 P 更稳定。
例题 7
一家商店 5 个月内收到的顾客投诉次数，平均数为 12，标准差为 3。求这组数据的 Σx 和 Σx²。
- Σx = 平均数 × n = 12 × 5 = 60
- 方差 = （标准差）² = 3² = 9
- Σx² = (方差 + 平均数²) × n = (9 + 12²) × 5 = (9 + 144) × 5 = 765
例题 8
6 名学生某天晚上花在复习上的分钟数记录为 10、12、14、16、18 和 20。求平均复习时间，再求这组数据的方差，答案准确至两位小数。
- 平均数 = (10+12+14+16+18+20)/6 = 90/6 = 15 分钟
- Σx² = 10²+12²+14²+16²+18²+20² = 100+144+196+256+324+400 = 1420
- 方差 = Σx²/n − 平均数² = 1420/6 − 15² = 236.67 − 225 = 11.67（两位小数）
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
常见问题
计算未分组数据的方差和标准差需要用到哪些公式？
方差公式为 Σ(x − x̄)²/n，也可用简化式 Σx²/n − x̄²，其中 x̄ 是平均数，n 是数据个数；标准差则是方差开根号 √方差。建议两个版本都要熟练，当你已经算出 Σx 和 Σx² 时，用简化式能更快得出答案，节省考试时间。
如何用标准差比较两组数据的稳定性？
分别求出两组数据的平均数和标准差。标准差较小的一组数据更稳定，因为数值较集中地分布在其平均数附近。
作答时要同时说明平均数（哪一组的水平较高）和标准差（哪一组较稳定），完整的比较必须两者都提到，只写其中一项会被扣分。
在中等难度的离散量数题目中，学生常犯的错误有哪些？
最常见的错误是求出方差后忘记开根号得出标准差、代入 Σx² 时计算错误，以及在多步骤运算中过早四舍五入导致答案不准确。也有学生在写最终答案时把方差和标准差混淆，作答前务必看清楚题目问的究竟是哪一个。