未分组数据的离散量度 · 中四

未分组数据的离散量度：例题（较易）

离散度的三个基本工具，全距、方差和标准差，各用一个清晰的步骤呈现。适合初次接触公式方差 = Σx²/N − 平均值² 的学生。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

例题 1

一名学员在5天内做俯卧撑：12、18、9、15、21。求俯卧撑次数的全距。

找出最大值：21，以及最小值：9。
全距 = 最大值 − 最小值。
全距 = 21 − 9 = 12。

例题 2

求数据 2、4、6、8、10 的方差。

数据个数 N = 5。平均值 = (2+4+6+8+10)/5 = 30/5 = 6。
平方和 Σx² = 2²+4²+6²+8²+10² = 4+16+36+64+100 = 220。
代入方差 = Σx²/N − 平均值² = 220/5 − 6²。
= 44 − 36 = 8。

例题 3

求数据 2、4、5、6、8 的标准差。

N = 5。平均值 = (2+4+5+6+8)/5 = 25/5 = 5。
Σx² = 2²+4²+5²+6²+8² = 4+16+25+36+64 = 145。
方差 = Σx²/N − 平均值² = 145/5 − 5² = 29 − 25 = 4。
标准差 = √方差 = √4 = 2。

例题 4

六个书包的质量（以千克计）为 7、3、11、5、9 和 4。求这些质量的全距。

全距 = 最大值 − 最小值。
最大 = 11 千克，最小 = 3 千克。
全距 = 11 − 3 = 8 千克。

例题 5

求数据 3、5、7、9 的方差。

平均数 = (3 + 5 + 7 + 9) ÷ 4 = 24 ÷ 4 = 6。
离差平方：(3−6)² = 9，(5−6)² = 1，(7−6)² = 1，(9−6)² = 9。
离差平方和 = 9 + 1 + 1 + 9 = 20。
方差 = 20 ÷ 4 = 5。

例题 6

求数据 1、3、5、7、9 的标准差。答案准确到两位小数。

平均数 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9) ÷ 5 = 25 ÷ 5 = 5。
离差平方：16、4、0、4、16；和 = 40。
方差 = 40 ÷ 5 = 8。
标准差 = √8 ≈ 2.83。

例题 7

某科学实验室连续 5 天记录的温度（°C）为 24、27、22、29、25。求这些温度的全距。

全距 = 最大值 − 最小值
最大值 = 29，最小值 = 22
全距 = 29 − 22 = 7°C

例题 8

求数据 3、6、9、12、15 的标准差，答案准确至两位小数。

平均数 = (3+6+9+12+15)/5 = 45/5 = 9
Σx² = 3²+6²+9²+12²+15² = 9+36+81+144+225 = 495
方差 = Σx²/n − 平均数² = 495/5 − 9² = 99 − 81 = 18
标准差 = √18 = 4.24（两位小数）

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

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常见问题

未分组数据的离散量度(measures of dispersion)简单题目应重点掌握什么？

简单题目通常要求你直接从一小组未分组数据或简单频数表中求出全距(range)、方差(variance)或标准差(standard deviation)。务必熟练掌握标准差公式，并仔细使用计算器的统计模式(STAT mode)进行计算，计算器模式设置错误，是很多学生明明方法正确却算出错误答案的最常见原因，考试时建议先核对一次输入的数据是否与题目一致。

为什么全距和标准差有时对同一组数据给出不同的“离散程度”感觉？

全距只比较数据中的最大值和最小值，所以只要有一个极端的离群值，全距看起来就会很大，即使大部分数据其实彼此很接近。标准差则考虑了每一个数值与平均数之间的距离，能更全面地反映数据的离散程度，这也是为什么考试题目常常要求你同时比较全距和标准差，而不是只看其中一个指标。

手动计算方差时，常见的计算错误是什么？

学生常常忘记在求和之前把每个数值与平均数的差先平方，或者在Σx²公式中错误地把平均数本身平方，而不是对每个原始数据分别平方。建议先把公式原样写出来，用表格逐个数值填入计算，等每一列都填写完整之后，才把总和代入最终公式求出方差，这样能大大减少计算失误。