未分组数据的离散量度 · 8.2.1

全距、四分位距及标准差

学生需要从一列未分组（个别）数值中，求出四个衡量离散程度的数值。全距等于最大值减最小值；四分位距等于Q3减Q1；方差是各数据与平均数之差的平方的平均值，可用公式σ² = Σx²/n − (Σx/n)²求得；标准差则是方差的平方根。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

官方学习标准 (8.2.1)

“求出全距、四分位距、方差与标准差，并用它们来描述未分组数据的离散程度。”

这是SPM试卷二的一个重要考点，通常以一整道题目的形式出现，要求学生用公式σ² = Σx²/n − x̄²求出平均数、方差与标准差，并从排序后的数据求出全距与四分位距。试卷一则可能考查较简短的全距或四分位距计算。

一组数据为4、6、8、10、12。求这组数据的全距、四分位距、方差与标准差。

全距 = 12 - 4 = 8。
中位数 = 8；下半部分为4、6，所以Q1 = (4+6)/2 = 5；上半部分为10、12，所以Q3 = (10+12)/2 = 11；四分位距 = 11 - 5 = 6。
平均数 x̄ = (4+6+8+10+12)/5 = 40/5 = 8。
Σx² = 4² + 6² + 8² + 10² + 12² = 16+36+64+100+144 = 360。
方差 σ² = Σx²/n - x̄² = 360/5 - 8² = 72 - 64 = 8。
标准差 σ = √8 = 2.83（三位有效数字）。

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方差和标准差有什么区别？

方差是各数据与平均数之差的平方的平均值，所以它的单位是平方单位（例如m²）。标准差是方差的平方根，能把数值还原回原来的单位（例如m），这也是为什么标准差更方便与原始数据一起解读。

当数据个数为奇数时，怎样求Q1和Q3？

先求出中位数，它会把排好序的数据分成下半部分和上半部分（中位数本身不算入任何一半）。Q1就是下半部分的中位数，Q3就是上半部分的中位数。

考试中应该用哪个方差公式？

建议使用σ² = Σx²/n − (Σx/n)²，这个公式只需要Σx和Σx²，比起逐个计算「与平均数之差」再平方求和的方法更快，也更不容易出错。两种公式最终答案相同，但这个版本是SPM考试的标准做法。