公式表
方差（未分组数据）
两种形式 σ² = Σ(x−x̄)²/N = Σx²/N − x̄² 都印在 SPM 公式表上。你必须知道要先求出平均数 x̄，SPM 用 N（而非 N−1）去除，而第二种形式 Σx²/N − x̄² 通常更快，因为省去了一列离差。
σ2 = Σ(x−x̄)2 / N = Σx2/N − x̄2
考试提供符号的含义
- σ² 方差，单位是数据单位的平方
- x 每一个数据值
- x̄ 数据的平均数
- N 数据的个数
- Σ(x−x̄)² 各数据与平均数之差的平方和
- Σx² 各数据平方的总和
考试提供，还是要记？
两种形式 σ² = Σ(x−x̄)²/N = Σx²/N − x̄² 都印在 SPM 公式表上。你必须知道要先求出平均数 x̄，SPM 用 N（而非 N−1）去除，而第二种形式 Σx²/N − x̄² 通常更快，因为省去了一列离差。
为什么成立
方差量度数据的分散程度，即各数据到平均数距离平方的平均。
- 求每个离差 x − x̄，即一个值到平均数的距离。
- 把每个离差平方，使低于和高于平均数的值不会相互抵消。
- 除以 N，求出平方离差的平均。
- 展开代数式后，Σ(x−x̄)²/N 变成 Σx²/N − x̄²，只需 Σx² 和平均数即可。
例题 1
求数据 2、4、6、8、10 的方差。
- 求平均数：x̄ = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 30 / 5 = 6。
- 离差 x − x̄：−4、−2、0、2、4。
- 平方后求和：Σ(x−x̄)² = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40。
- 代入公式：σ² = Σ(x−x̄)² / N = 40 / 5。
例题 2
用简式 Σx²/N − x̄²，求 5、7、3、9、6 的方差。
- 求平均数：x̄ = (5 + 7 + 3 + 9 + 6) / 5 = 30 / 5 = 6。
- 平方和：Σx² = 25 + 49 + 9 + 81 + 36 = 200。
- 除以 N：Σx²/N = 200 / 5 = 40。
- 代入简式：σ² = Σx²/N − x̄² = 40 − 6² = 40 − 36。
学生常错之处
- 忘记把离差平方，或把和平方而不是把平方求和，要的是 Σ(x−x̄)²，不是 (Σ(x−x̄))²。
- 除以 N − 1（其他课程的样本公式），SPM 1449 是除以 N。
- 在简式里减 x̄ 而不是 x̄²，必须减去平均数的平方。
配合使用
资料来源:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)
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常见问题
我该用 Σ(x−x̄)²/N 还是 Σx²/N − x̄²？
两者答案相同，也都在公式表上。简式 Σx²/N − x̄² 通常更快，因为只需列出 x² 一列，不必列离差。
当平均数是整数、离差容易手算平方时，用第一种形式更方便。
方差可以是负数吗？
不可以。方差是平方量的平均，所以永远为零或正数。
如果算出负方差，就是出错了，最常见的是减了 x̄ 而不是 x̄²，或把 Σx² 与 (Σx)² 弄混。方差恰好为 0 表示所有值都相同。
方差的单位是什么？
方差的单位是数据单位的平方，因为每个离差都被平方了。如果数据以厘米为单位，方差就是 cm²。
这也是为什么常改用标准差（方差的平方根）来报告，它回到数据本来的单位。