公式表
标准差（未分组数据）
两种形式 σ = √(Σ(x−x̄)²/N) = √(Σx²/N − x̄²) 都印在 SPM 公式表上。你必须知道 σ 只是方差的平方根，所以别忘了最后开方，并记住 σ 的单位与原始数据相同。
σ = √Σ(x−x̄)2 / N = √Σx2/N − x̄2
考试提供符号的含义
- σ 标准差，单位与数据相同
- x 每一个数据值
- x̄ 数据的平均数
- N 数据的个数
- Σ(x−x̄)² 各数据与平均数之差的平方和
- Σx² 各数据平方的总和
考试提供，还是要记？
两种形式 σ = √(Σ(x−x̄)²/N) = √(Σx²/N − x̄²) 都印在 SPM 公式表上。你必须知道 σ 只是方差的平方根，所以别忘了最后开方，并记住 σ 的单位与原始数据相同。
为什么成立
标准差把方差里的平方“还原”回来，使分散程度回到数据本身的单位。
- 先用任一形式算出方差 σ²。
- 方差的单位是平方单位，不易直接解读。
- 对方差开平方，回到原来的单位：σ = √(σ²)。
- 结果 σ 表示各值到平均数的典型距离。
例题 1
求 5、7、3、9、6 的标准差。
- 求平均数：x̄ = (5 + 7 + 3 + 9 + 6) / 5 = 30 / 5 = 6。
- 平方和：Σx² = 25 + 49 + 9 + 81 + 36 = 200。
- 方差：σ² = Σx²/N − x̄² = 200/5 − 6² = 40 − 36 = 4。
- 开平方：σ = √(Σx²/N − x̄²) = √4。
例题 2
求 10、12、14、16、18 的标准差，答案保留两位小数。
- 求平均数：x̄ = (10 + 12 + 14 + 16 + 18) / 5 = 70 / 5 = 14。
- 离差 x − x̄：−4、−2、0、2、4；平方为 16、4、0、4、16，故 Σ(x−x̄)² = 40。
- 方差：σ² = Σ(x−x̄)²/N = 40 / 5 = 8。
- 开平方：σ = √8 = 2.8284...。
学生常错之处
- 把方差当作标准差报告，漏掉最后的开方是最常见的失误。
- 只对 Σ(x−x̄)² 开方，却没有先除以 N。
- 过早对方差四舍五入，再对一个已取整的数开方；应保持完整精度到最后一步。
配合使用
资料来源:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)
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常见问题
方差和标准差有什么区别？
标准差是方差的平方根：σ = √(σ²)。方差单位是平方单位，只是中间步骤；标准差与数据同单位，更容易理解为典型的分散程度。
先算方差，再开方。
为什么标准差常常不是整数？
因为它来自平方根，而大多数方差不是完全平方数。方差为 8 时 σ = √8 ≈ 2.83，是无理数。
把准确值留在计算器里，只在最后按题目要求四舍五入，通常保留两位或四位有效数字。
标准差更大说明了什么？
标准差越大，说明数据相对平均数越分散，各值越不一致；越小则说明数据紧密聚集在平均数附近。比较两组平均数相近的数据时，标准差较小的那组更均匀、更稳定。