未分组数据的离散量度
如何求未分组数据的标准差
用它衡量一列数值围绕平均值的分散程度。
开始之前
- 求一组数的平均数
- 求数的平方，包括小数如 7.5²
- 使用计算器的开平方键
- 把 Σ（sigma）读作“全部加起来”
何时使用
用它衡量一列数值围绕平均值的分散程度。
步骤
- 把所有数值相加除以个数（N）求平均值。
- 建一个含 x 列与 x² 列的表。
- 把 x² 列相加得 Σx²。
- 用所给公式：方差 = Σx²/N − （平均值）²。
- 对方差开平方得到标准差。
例题
求五个数 4、6、8、10、12 的标准差。
- 求平均数：(4 + 6 + 8 + 10 + 12) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8。
- 列出 x 与 x² 的表：x = 4、6、8、10、12，得 x² = 16、36、64、100、144。
- 把 x² 一列相加：Σx² = 16 + 36 + 64 + 100 + 144 = 360。
- 代入公式：方差 = Σx²/N − （平均数）² = 360 ÷ 5 − 8² = 72 − 64 = 8。
- 开平方：标准差 = √8 = 2.83（保留两位小数）。
第二个例题（略有变化）
这次平均数是小数（7.5），所以要仔细求 7.5 的平方，而且个数 N 是偶数。 四个箱子的质量（公斤）为 5、7、8、10。
求标准差。
- 求平均数：(5 + 7 + 8 + 10) ÷ 4 = 30 ÷ 4 = 7.5。
- 列出 x 与 x² 的表：x = 5、7、8、10，得 x² = 25、49、64、100。
- 把 x² 一列相加：Σx² = 25 + 49 + 64 + 100 = 238。
- 代入公式：方差 = Σx²/N − （平均数）² = 238 ÷ 4 − 7.5² = 59.5 − 56.25 = 3.25。
- 开平方：标准差 = √3.25 = 1.80（保留两位小数）。
你可能需要的公式
x̄ = Σx / N
考试提供σ2 = Σ(x−x̄)2 / N = Σx2/N − x̄2
考试提供σ = √Σ(x−x̄)2 / N = √Σx2/N − x̄2
考试提供公式页面
用 KBAT 题练习
预约试课一小时付费试课 · 当天回复 · 每小时RM50起
常见问题
要除以 N 还是 N − 1？
SPM 1449 用总体公式，方差 = Σx²/N − （平均数）²，所以除以 N，即数据个数。除以 N − 1 是大学阶段的做法，本课程不采用。
开平方里出现负数，哪里错了？
方差不可能是负数，所以是算错了。重新检查 Σx² 和平均数；通常是平均数平方算错，或漏加了一个 x²。
改正后方差就会为正。
可以先把平均数四舍五入再求方差吗？
不行，平均数要保持精确，只在最后对标准差取舍。若提前对平均数取舍，平方会放大误差，标准差就会偏差。
除非另有要求，只在最后一步保留两位小数。