未分组数据的离散量度 · 8.2.4
数据变动对离散程度的影响
学生须探究当数据经过变换时，离散量数及其相关图形会如何改变，例如每个数值都加上或乘以相同的量、出现离群值或极端值，又或是数据组中加入或删除某些数值，并清楚说明所产生的影响。
官方学习标准 (8.2.4)
“根据以下方面判断数据变动对离散程度的影响：(i) 离散量数的数值，(ii) 图形表示。须包括以下情况对离散程度的影响：(i) 每个数据值都作相同的变动，(ii) 存在离群值或极端值，(iii) 加入或删除某些数值。”
它的含义
学生须探究当数据经过变换时，离散量数及其相关图形会如何改变，例如每个数值都加上或乘以相同的量、出现离群值或极端值，又或是数据组中加入或删除某些数值，并清楚说明所产生的影响。
如何考查
第二卷题目通常会给出一组原始数据及其已知的离散量数，要求学生在数据经过特定变动后，预测或计算新的全距、四分位距、方差或标准差，并解释该量数为何增加、减少或保持不变，当中常涉及离群值的影响。
例题
一组数据为3、5、7、9、11。(a) 求其全距。
(b) 若每个数值都增加4，求新的全距，并说明为何全距不变。(c) 若把数值11换成31，求新的全距，并说明这对离散程度的影响。
- 原始数据：3、5、7、9、11。全距 = 最大值 − 最小值 = 11 − 3 = 8。
- 每个数值都加上4后得7、9、11、13、15。新全距 = 15 − 7 = 8，与之前相同，因为一致的平移使每个数值移动相同的量，最大值与最小值之间的差距不变。
- 把11换成31后得3、5、7、9、31。新全距 = 31 − 3 = 28。
- 比较：全距从8骤增至28，原因是单一离群值，说明全距和标准差等量数对极端值非常敏感。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
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常见问题
为每个数据值加上一个常数会改变标准差吗？
不会。为每个数值加上或减去相同的常数，只是把整组数据向上或向下平移，并不改变数据的分散程度，因此全距、四分位距、方差与标准差都保持不变。
为什么四分位距比全距更不容易受离群值影响？
全距只使用两个极端值，因此单一离群值会直接改变它。四分位距则以位于数据中段的Q1与Q3为依据，所以一个极端值通常对它影响很小甚至没有影响。
若每个数据值都乘以2，方差会如何变化？
方差会乘以2² = 4，而标准差则乘以2，因为标准差是方差的平方根，会随数据本身而非其平方成正比变化。