全等、放大与复合变换 · 中五

比例因子对长度和面积的不同作用

在比例因子为 k 的放大变换下，每条长度都乘以 k，但面积乘以 k²，因为面积是二维的（长 × 长）。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

长度按 k 变化，面积按 k² 变化

当一个图形按比例因子 k 放大时，每条边长变为原来的 k 倍。但面积是长 × 长，所以要乘以 k × k = k²。

例如 k = 3 使每条边长为原来的 3 倍，而面积却变成原来的 9 倍，不是 3 倍。

题目常常给出面积的比例，要你求长度的比例因子，或反过来。因为面积因子是 k²，你要开平方才能求回长度因子：面积是原来 4 倍的像，来自 k = √4 = 2。

关键在于用一个数字之前，先分清它指的是长度因子还是面积因子。

最常见的错误是把面积乘以 k 而不是 k²。按比例因子 2 放大，面积不是变两倍，而是变成 2² = 4 倍。

还要注意，比例因子在 0 到 1 之间（例如 ½）是缩小，长度缩短，面积缩小为原来的 k² = ¼，而面积因子 k² 始终是正的，即使 k 为负。

预约试课一小时付费试课 · 当天回复 · 每小时RM50起

如果放大比例是k，面积会怎样变化？

图像中每条边长都是原图对应边长的k倍，但面积会按k²倍变化，因为面积涉及两个维度相乘。例如放大比例为3时，边长变成3倍，但面积会变成9倍。

只知道原图面积和比例因子，怎样求图像的面积？

用原图面积乘以k²(不是k)来得到图像面积：图像面积 = k² × 原图面积。只乘以k而不是k²是SPM考试中最常见的错误之一。

如果比例因子是负数或分数，面积还是用k²计算吗？

是的，面积的比例因子永远是k²(负数k则用|k|²)，结果一定是正值，因为面积不能为负。分数比例因子(例如k=1/2)会得到面积比例因子1/4，表示图像比原图小。