三角函数的比值与图形 · 中五
为什么象限决定正负号？
一旦角度大于 90°，我们就把它放在半径为 1 的圆上，其中 cos θ 是 x 坐标，sin θ 是 y 坐标。因为在圆的不同部分 x 和 y 可正可负，所以每个比值的正负取决于角落在哪个象限。
从三角形到圆
直角三角形的角最多只到 90°，所以要理解 120° 或 250°，我们就在以原点为中心的单位圆上，从正 x 轴画出这个角。角的一条边与圆相交的点，坐标是 (cos θ, sin θ)，而 tan θ 就是 sin θ ÷ cos θ，也就是 y ÷ x。
当这条边扫动时，这些坐标经过正区和负区，比值也随之改变。
CAST 规律
把圆分成四个各 90° 的象限。第一象限（0°–90°）三个比值都为正；第二象限（90°–180°）只有正弦为正；第三象限（180°–270°）只有正切为正；第四象限（270°–360°）只有余弦为正。
同学常用 CAST 或 ASTC 来记，每个象限用一个字母代表在那里保持为正的比值。把这个规律记熟，就能消除全章最大的符号错误来源。
常见误解
很多同学以为像 210° 这样的角没有意义，因为画不出那样的三角形，或者以为每个比值都必须为正。其实比值的大小来自相关的锐角，而象限只决定前面是 + 还是 −。
例如 sin 150° = +0.5，而 sin 210° = −0.5：大小相同，但因为位于不同象限，符号相反。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
常见问题
我怎么知道sin、cos或tan在某个象限中是正还是负？
用口诀“All Silver Tea Cups”(ASTC)：第一象限所有比值为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。这源自单位圆上x坐标(cos)和y坐标(sin)在角度越过90°、180°、270°时符号发生变化。
为什么角度超过90°时要用单位圆而不是三角形？
直角三角形只适用于0°到90°之间的角，而单位圆能把任何角放到完整的一圈旋转中。把cos θ看作x坐标、sin θ看作y坐标，就能自然地把比值延伸到钝角和反角。
在不同象限求参考角时，学生常犯什么错误？
学生常忘记用正确的基准来相减，第二象限用180° − θ,第三象限用θ − 180°,第四象限用360° − θ。用错公式会得到正确的比值大小，但符号错误，或者算出的角落在错误的象限。