三角函数的比值与图形

你已经会直角三角形里角的正弦、余弦、正切。本章把它们推广到 0° 至 360° 的任意角，教你求它们的值（包括负值），并画出与读懂这些函数的波状图。

试卷二常要你在指定范围内画正弦或余弦图，再用它求满足某方程的角。图必须整洁、刻度正确；第二、三、四象限里比值的符号，正是分数悄悄溜走的地方。

本章每一个值都可用一套可靠的程序求得，你无需猜测。先找出锐角参考角，即终边与水平 x 轴所成的角：第一象限里就是 θ 本身，第二象限是 180° − θ，第三象限是 θ − 180°，第四象限是 360° − θ。

取该锐角的普通正弦、余弦或正切，再用象限规则加上符号：从第一象限逆时针走，全部（All）、正弦、正切、余弦分别在第一、二、三、四象限里保持为正。所以 cos 150° 的参考角是 30°，位于余弦为负的第二象限，得 −cos 30°；sin 210° 是 −sin 30°；tan 300° 是 −tan 60°。

参考角定大小、象限定符号，这两步的习惯能消除几乎所有符号错误。

少数几个值能把作图与解方程从缓慢变为瞬间完成。要牢记象限点：sin 0° = 0、sin 90° = 1、sin 180° = 0、sin 270° = −1、sin 360° = 0，而余弦在同样这些角依次是 1、0、−1、0、1，这些正是你的图需要经过的峰、谷与交点。

要记住三个特殊锐角的精确根式值：sin 30° = ½、cos 30° = √3/2；sin 45° = cos 45° = √2/2；sin 60° = √3/2、cos 60° = ½；以及 tan 30° = 1/√3、tan 45° = 1、tan 60° = √3。最后，记得正切在 90° 与 270° 处无定义，那正是它的图出现竖直断口而非平滑曲线之处。

脑中有了这些锚点值，你不用计算器也能定出正弦、余弦或正切图的每个重要点。

当题目说在 0° ≤ x ≤ 360° 内求解时，它几乎总是在提醒你答案不止一个，因为在一整圈里，某一给定值处的水平线会与正弦或余弦曲线相交两次。分三步进行。

第一，先用正值从计算器求出基本锐角，暂时不管符号，对 sin x = −0.5，你求得 sin⁻¹(0.5) = 30°。第二，判断符号指向哪两个象限：正弦为负属于第三与第四象限。

第三，用参考角构造两个答案：第三象限给 180° + 30° = 210°，第四象限给 360° − 30° = 330°。若范围更宽，比如到 720°，只需给每个答案加 360° 以收集额外的解。

训练自己预期有两个答案，再检查每个都落在所述范围内，这就是满分与一半分之间的区别。

这道两部分的例题是试卷二的标准组合，先求一个非第一象限的比值，再在整个范围内解一个方程。