三角函数的比值与图形
如何解三角方程
用它求 0° 到 360° 之间满足三角方程的所有角。
开始之前
- 用计算器求 sin、cos、tan
- 运用 ASTC 象限符号法则
- 移项把某一项单独分离出来
何时使用
用它求 0° 到 360° 之间满足三角方程的所有角。
步骤
- 整理成只剩三角比，如 sin x = 0.5。
- 用计算器求基本角（以度为单位）。
- 判断哪些象限给出所需符号。
- 用基本角写出每个有效象限中的角。
- 列出 0° 到 360° 范围内的所有解。
例题
在 0° ≤ x ≤ 360° 内解 2 sin x = 1。
- 移项使比值单独：两边除以 2，得 sin x = 0.5。
- 由计算器求基本角：sin⁻¹(0.5) = 30°。
- sin x 为正，故 x 在第一、第二象限（正弦为正）。
- 写出每个象限的角：第一象限 x = 30°；第二象限 x = 180° − 30° = 150°。
- 在 0° ≤ x ≤ 360° 内，解为 x = 30° 和 x = 150°。
第二个例题（略有变化）
比值为负，所以答案落在第二和第三象限，且数值需要四舍五入。 在 0° ≤ x ≤ 360° 内解 3 cos x + 2 = 0，x 取到最接近的整数度。
- 移项使比值单独：3 cos x = −2，故 cos x = −2/3 ≈ −0.6667。
- 由正值求基本角：cos⁻¹(0.6667) = 48°（取到最接近的整数度）。
- cos x 为负，故 x 在第二、第三象限（余弦为负）。
- 写出每个象限的角：第二象限 x = 180° − 48° = 132°；第三象限 x = 180° + 48° = 228°。
- 在 0° ≤ x ≤ 360° 内，解为 x = 132° 和 x = 228°。
公式页面
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常见问题
为什么会有两个答案而不是一个？
在 0° 到 360° 之间，每个比值都由两个角共用，符号相符的每个象限各一个。计算器只给基本角，所以你须用 180° − θ、180° + θ 或 360° − θ 自行补上第二个角。
有些方程解甚至更多。
求基本角时要用负号吗？
不要。始终对正值取反函数以得到基本锐角，再由象限决定符号。
若把负值输入计算器，可能得到 0° 到 360° 之外的角而漏掉某些解，所以先去掉负号。
如果范围更大，比如 0° 到 720° 呢？
先求出一整圈内的所有解，再给每个加 360° 进入下一圈，重复直到超过范围上限。对于 0° 到 720°，列出每个第一圈的解及其加 360° 的值，只保留仍在范围内的。