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三角函数的比值与图形 · 中五

三角函数的比值与图形：练习题

三角函数的比值与图形 的原创 SPM 风格练习题，每题附完整解答，试卷一选择题与试卷二结构题。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

三角函数的比值与图形 的原创练习题，仿 数学试卷一（客观题） 与 数学试卷二（主观题） 的风格。每题都有解答，方便你检查方法而不只是结果。

选择题（试卷一风格）

题 1

已知 0° ≤ θ ≤ 360° 时 sin θ < 0 且 tan θ > 0,θ 位于哪个象限？

  1. A. 第一象限
  2. B. 第二象限
  3. C. 第三象限
  4. D. 第四象限

题 2

已知 cos θ = -0.6 且 90° < θ < 180°,求 sin θ 的值。

  1. A. 0.8
  2. B. -0.8
  3. C. 0.6
  4. D. -0.6

题 3

210° 的参考角（基本角）是多少？

  1. A. 30°
  2. B. 60°
  3. C. 150°
  4. D. 240°

题 4

cos 150° 的精确值是

  1. A. √3/2
  2. B. -√3/2
  3. C. ½
  4. D. -½

题 5

当 0° ≤ θ ≤ 360° 时，sin θ = 0.5 的解集是

  1. A. {30°, 150°}
  2. B. {30°, 210°}
  3. C. {150°, 330°}
  4. D. {30°, 330°}

题 6

tan 225° 的值是

  1. A. 1
  2. B. -1
  3. C. √3
  4. D. -√3

题 7

对于 0° ≤ x ≤ 360° 的图象 y = sin x,y 取最大值时的 x 值是

  1. A. 0°
  2. B. 90°
  3. C. 180°
  4. D. 270°

题 8

在平地上距离一棵垂直树木底部 15 m 处的一点，测得树顶的仰角为 40°。这棵树的高度是

  1. A. 12.6 m
  2. B. 11.5 m
  3. C. 9.6 m
  4. D. 17.9 m

题 9

当 0° ≤ x ≤ 360° 时，图象 y = cos x 与 x 轴相交几次？

  1. A. 1
  2. B. 2
  3. C. 3
  4. D. 4

结构题（试卷二风格）

题 1 (4 分)

已知 tan θ = -5/12 且 90° ≤ θ ≤ 180°,在不使用计算器的情况下，求 sin θ 和 cos θ 的值。

  1. 考虑绝对值：tan（基本角） = 5/12，所以对边 = 5，邻边 = 12。
  2. 斜边 = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13。
  3. θ 在第二象限(90° 到 180°)，正弦为正，余弦为负。
  4. 因此 sin θ = 5/13,cos θ = -12/13。

题 2 (3 分)

解方程 cos x = -0.5，其中 0° ≤ x ≤ 360°。

  1. 求基本角：cos⁻¹(0.5) = 60°。
  2. 余弦在第二象限和第三象限为负。
  3. 第二象限：x = 180° - 60° = 120°。
  4. 第三象限：x = 180° + 60° = 240°。

题 3 (6 分)

一座垂直塔 TB 立在水平地面上，B 为塔底。从地面上一点 P 测得塔顶 T 的仰角为 28°,且 PB = 60 m。

(a) 计算塔 TB 的高度。(b) 点 Q 位于地面上 P 与 B 之间。

从 T 测得 Q 的俯角为 50°。计算距离 BQ。

  1. (a) 在直角三角形 TBP 中，tan 28° = TB ÷ PB。
  2. TB = 60 × tan 28° = 60 × 0.5317 = 31.9 m。
  3. (b) 从 T 看 Q 的俯角等于从 Q 看 T 的仰角，所以此角 = 50°。
  4. 在直角三角形 TBQ 中，tan 50° = TB ÷ BQ，所以 BQ = TB ÷ tan 50° = 31.9 ÷ 1.1918 = 26.8 m。

题 4 (6 分)

已知 sin θ = 3/5 且 θ 为锐角，在不使用计算器的情况下，求：(a) cos θ,(b) tan θ,(c) sin(180° - θ),(d) cos(180° + θ)。

  1. 画一个直角三角形：对边 = 3，斜边 = 5，所以邻边 = √(5² - 3²) = √16 = 4。
  2. (a) cos θ = 邻边 ÷ 斜边 = 4/5。
  3. (b) tan θ = 对边 ÷ 邻边 = 3/4。
  4. (c) 180° - θ 在第二象限，正弦为正，所以 sin(180° - θ) = sin θ = 3/5。
  5. (d) 180° + θ 在第三象限，余弦为负，所以 cos(180° + θ) = -cos θ = -4/5。

资料来源:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)

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常见问题

这套三角比与图像练习题包含哪些内容？

这套练习题包括第一卷求特定角度三角比的题目，以及第二卷绘制正弦、余弦和正切图像，并从图中解三角方程的结构式题目。每一题都是本网站原创练习，并非真实的SPM试题。

为什么在查看答案前应先自己尝试画图？

即使画得不够精准，自己动手画曲线也能迫使你思考图像的形状、周期和关键点。太早查看详解只会让你照抄图形而不理解其原理，这对实际考试没有帮助。

三角函数图像题常见的错误是什么？

常见错误是坐标轴标注错误或使用不正确的刻度，导致从图上读取的所有数值都不准确。应先标出足够的关键点再连成平滑曲线，并随时核对角度单位是否符合题目要求。

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