三角函数的比值与图形 · 中五

三角函数的比值与图形：常见错误

不一样。sin²x 是 (sin x)² 的标准简写，先取正弦再平方。而 sin x² 表示 x² 的正弦，是先把角平方，那是不同的量。要把平方放在整个比值上：(sin x)² = sin²x。阅卷员会按字面理解这两种写法，所以别写错。

在三角函数的比值与图形中悄悄丢分的错误，以及在 SPM 考试中如何逐一避开。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

以我们教三角函数的比值与图形的经验，大多数失分来自少数反复出现的小错，而非不理解。以下就是这些错误及其纠正。

要避开的错误

学生常写：cos 240° ≈ 0.326（计算器停留在弧度模式）。→ 为何失分：这个值是 240 弧度的余弦，不是 240°，之后每一步都错。→ 正确做法：把计算器设为 DEG；cos 240° = −0.5。
学生常写：sin x = 1/√2 所以 x = 45° 而已。→ 为何失分：参考角不是完整答案，第二象限的解被漏掉。→ 正确做法：正弦在第一、第二象限为正，所以 x = 45° 与 x = 135°。
学生常写：对 sin 2x = 1/2，0° ≤ x ≤ 360°，只写 x = 15° 与 75°。→ 为何失分：设 2x 后范围变成 0° ≤ 2x ≤ 720°，所以有四个解而非两个。→ 正确做法：2x = 30°、150°、390°、510°，得 x = 15°、75°、195°、255°。
学生常写：用 sin x² 表示 sin x 的平方。→ 为何失分：sin x² 表示 (x²) 的正弦，是不同的量，阅卷员无法给分。→ 正确做法：把 (sin x)² 写成 sin²x。
学生常写：tan 90° = 1（或随便写个数）。→ 为何失分：正切在 90° 与 270° 无定义（余弦为零），不能给出数值。→ 正确做法：注明 tan 90° 无定义；图形在该处有渐近线。
学生常写：因为峰值在轴上方两格就读成 y = 2。→ 为何失分：若每格代表 0.5 单位，峰值其实是 y = 1，振幅读错了。→ 正确做法：先看坐标轴刻度；两格 × 0.5 = 1，所以最大值是 y = 1。

交卷前，对任何三角答案做三项快速检查：计算器是否在角度模式、每个解是否真的落在给定范围内、每个值的符号是否与其所在象限一致。十秒的检查就能把这六个失误悄悄扣掉的分数救回来。

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为什么在 DEG 和 RAD 之间切换后，我的答案会变？

因为计算器在用不同的单位量角。在 DEG 模式下，240 表示 240 度；在 RAD 模式下，它表示 240 弧度，是完全不同的角。

SPM 三角学用角度，所以做任何题目前先把计算器设为 DEG，并留意屏幕上那个小小的 D 或 R 标示。

对 sin 2x = …，为什么我忽然得到四个答案而不是两个？

因为被加倍的角对应被加倍的范围。若 0° ≤ x ≤ 360°，则 0° ≤ 2x ≤ 720°，所以在把 2x 除回 x 之前，2x 最多可以取到所需值四次。

做法是：先把倍角的范围扩大，列出每一个值，再除以 2 得到 x。

sin²x 和 sin x² 一样吗？

不一样。sin²x 是 (sin x)² 的标准简写，先取正弦再平方。

而 sin x² 表示 x² 的正弦，是先把角平方，那是不同的量。要把平方放在整个比值上：(sin x)² = sin²x。

阅卷员会按字面理解这两种写法，所以别写错。