三角函数的比值与图形 · 中五

三角函数的比值与图形：复习笔记

不在。SPM 官方公式表并不列出三角函数值，所以特殊角必须记在脑里。熟记 30°–60°–90° 和 45°–45°–90° 两块三角板，就能精确重建 30°、45°、60° 的 sin、cos、tan；而 0°、90°、180° 的值可以直接从图形读出。

三角函数的比值与图形的精简复习总结（SPM 数学），核心概念、考试提供的公式，以及考前该聚焦的重点。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

核心要点

你已经会直角三角形里角的正弦、余弦、正切。本章把它们推广到 0° 至 360° 的任意角，教你求它们的值（包括负值），并画出与读懂这些函数的波状图。

超过 90° 的值（象限符号）：求 cos 240°。参考角 = 240° − 180° = 60°。在第三象限余弦为负，所以 cos 240° = −cos 60° = −1/2。
各函数图形的形状：画出 0° ≤ x ≤ 360° 的 y = tan x。它在 0°、180°、360° 处过零，在 90° 与 270° 处有垂直渐近线，每 180° 重复一次。
从图形求解：要在 0° ≤ x ≤ 360° 内解 tan x = 1，参考角为 45°；正切在第一、第三象限为正，所以 x = 45° 与 x = 225°。

重新推导象限符号图（CAST）：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。
从两块三角板重新推导特殊角的值：30°–60°–90° 三角形给出 sin 30° = 1/2、cos 30° = √3/2、tan 30° = 1/√3；45°–45°–90° 三角形给出 sin 45° = cos 45° = 1/√2。
考卷会给你：范围（例如 0° ≤ x ≤ 360°）和方程，但不会给三角函数值，所以特殊角必须背熟。
唯一能保住分数的习惯：先求参考角，再按象限确定符号，然后在给定范围内列出每一个解，最后才写答案那一行。

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在 0° 到 360° 之间，y = sin x 应该出现几个周期？

恰好一个完整周期。y = sin x 的曲线从 0 开始，在 90° 升到峰值 +1，在 180° 回到 0，在 270° 降到谷值 −1，再在 360° 回到 0。

如果你在这个范围里画了两个波峰，就是把频率错误地加倍了。要牢记：一个 360° 范围对应正弦或余弦的一个完整周期。

三角函数值需要背吗，还是公式表上有？

不在。SPM 官方公式表并不列出三角函数值，所以特殊角必须记在脑里。

熟记 30°–60°–90° 和 45°–45°–90° 两块三角板，就能精确重建 30°、45°、60° 的 sin、cos、tan；而 0°、90°、180° 的值可以直接从图形读出。

像 cos 240° = −1/2 这样的值，最快怎么检查？

两个快速检查。第一，用推理：240° 在第三象限，余弦为负，它的参考角 60° 给出 cos 60° = 1/2，所以值是 −1/2。

第二，用设为角度（DEG）模式而非弧度的计算器验证。如果两者对不上，就是模式设错了。