Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri

Anda sudah tahu sinus, kosinus dan tangen bagi sudut dalam segi tiga bersudut tegak. Bab ini melanjutkannya kepada mana-mana sudut dari 0° hingga 360°, mengajar anda mencari nilainya (termasuk yang negatif), dan melukis serta membaca graf seperti gelombang bagi fungsi ini.

Kertas 2 sering meminta anda melakar graf sinus atau kosinus dalam julat yang dinyatakan, kemudian menggunakannya untuk mencari sudut yang memenuhi persamaan. Graf mesti kemas dan berskala betul; tanda nisbah dalam sukuan kedua, ketiga atau keempat ialah tempat markah hilang secara senyap.

Setiap nilai dalam bab ini boleh dicari dengan satu rutin yang boleh dipercayai, jadi anda tidak perlu meneka. Mula-mula cari sudut rujukan tirus, sudut yang dibuat oleh lengan dengan paksi-x mengufuk: ia θ sendiri dalam sukuan pertama, 180° − θ dalam kedua, θ − 180° dalam ketiga, dan 360° − θ dalam keempat.

Ambil sinus, kosinus atau tangen biasa bagi sudut tirus itu, kemudian lekatkan tanda menggunakan peraturan sukuan: bergerak lawan jam dari sukuan pertama, All (Semua), Sinus, Tangen dan Kosinus ialah nisbah yang kekal positif dalam sukuan satu, dua, tiga dan empat. Jadi kos 150° mempunyai sudut rujukan 30° dan berada dalam sukuan kedua yang kosinusnya negatif, memberi −kos 30°; sin 210° ialah −sin 30°; dan tan 300° ialah −tan 60°.

Sudut rujukan untuk saiz, sukuan untuk tanda, tabiat dua langkah itu membuang hampir setiap kesilapan tanda.

Segelintir nilai menukar lakaran graf dan penyelesaian persamaan daripada perlahan kepada serta-merta. Ketahui titik sukuan dengan yakin: sin 0° = 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0, sin 270° = −1, sin 360° = 0, manakala kosinus berjalan 1, 0, −1, 0, 1 merentasi sudut yang sama, inilah puncak, lembah dan persilangan yang graf anda perlu lalui.

Ketahui tiga sudut tirus istimewa sebagai surd tepat: sin 30° = ½ dan kos 30° = √3/2; sin 45° = kos 45° = √2/2; sin 60° = √3/2 dan kos 60° = ½; dan tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3. Akhir sekali, ingat bahawa tangen tak tertakrif pada 90° dan 270°, iaitu tepat di mana grafnya mempunyai pemutusan menegak dan bukan lengkung licin.

Dengan nilai sauh ini dalam kepala, anda boleh meletakkan setiap titik penting graf sinus, kosinus atau tangen tanpa kalkulator.

Apabila soalan berkata selesaikan untuk 0° ≤ x ≤ 360°, ia hampir selalu memberi amaran bahawa ada lebih daripada satu jawapan, kerana garis mengufuk pada nilai tertentu memotong lengkung sinus atau kosinus dua kali dalam satu pusingan penuh. Bekerja dalam tiga langkah.

Pertama, guna nilai positif untuk mencari sudut tirus asas dari kalkulator, abaikan tanda buat sementara, bagi sin x = −0.5 anda dapati sin⁻¹(0.5) = 30°. Kedua, tentukan dua sukuan yang ditunjuk oleh tanda: sinus negatif tergolong dalam sukuan ketiga dan keempat.

Ketiga, bina kedua-dua jawapan dari sudut rujukan: sukuan ketiga memberi 180° + 30° = 210°, keempat memberi 360° − 30° = 330°. Jika julat lebih luas, katakan hingga 720°, anda cuma tambah 360° pada setiap jawapan untuk mengumpul penyelesaian tambahan.

Melatih diri untuk menjangka dua jawapan, kemudian menyemak setiap satu berada dalam julat yang dinyatakan, itulah yang membezakan markah penuh daripada separuh.

Contoh dua bahagian ini ialah gandingan Kertas 2 yang standard, cari satu nisbah dalam sukuan bukan pertama, kemudian selesaikan persamaan merentasi seluruh julat.