三角函数的比值与图形
如何画三角函数图
用它在给定范围内画正弦、余弦或正切的图。
开始之前
- 正弦、余弦、正切基本曲线的形状
- 沿坐标轴读取以度为单位的角
- 周期与振幅的概念
何时使用
用它在给定范围内画正弦、余弦或正切的图。
步骤
- 记住正弦、余弦或正切基本曲线的形状。
- 标出关键点：最大、最小与穿轴处。
- 用题目的范围决定画几个周期。
- 标出关键点，用平滑曲线连接。
- 标注坐标轴与重要数值。
例题
画出 y = cos x 在 0° ≤ x ≤ 360° 的图象。
- 余弦曲线是一条平滑的波，在 x = 0° 时从最大值开始。
- 关键点：最大值 (0°, 1) 和 (360°, 1)；最小值 (180°, −1)；与轴的交点 (90°, 0) 和 (270°, 0)。
- 从 0° 到 360° 恰好是一个完整周期，所以画一个完整的波。
- 描点 (0°, 1)、(90°, 0)、(180°, −1)、(270°, 0)、(360°, 1)，用平滑曲线连接。
- 把 x 轴标为度数，y 轴从 −1 到 1，标出关键值。
第二个例题（略有变化）
角是 2x，把周期减半，所以 0° 到 360° 内有两个完整周期。 画出 y = sin 2x 在 0° ≤ x ≤ 360° 的图象。
- 基本正弦曲线从零开始，先上升；2x 把它水平压缩。
- 周期 = 360° ÷ 2 = 180°，故一个周期在 x = 180° 结束：最大值 (45°, 1)，零点 (90°, 0)，最小值 (135°, −1)，零点 (180°, 0)。
- 范围 0° 到 360° 是两个周期，所以画两个完整周期。
- 描出第一个周期的关键点，再从 180° 到 360° 重复相同图形（最大值在 225°，最小值在 315°）。
- 把 x 轴标为度数，y 轴从 −1 到 1，标出 45°、90°、135°、180° 等。
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常见问题
怎么算出要画多少个周期？
用范围除以周期。基本正弦和余弦的周期为 360°，所以 0° 到 360° 的范围含一个周期。
当角是 nx 时，周期变为 360° ÷ n，故 y = sin 2x 周期为 180°，在同一范围内含两个周期。
正弦图象与余弦图象的起点有何不同？
正弦从零开始上升，在 90° 达到最大值 1；余弦在 x = 0° 时从最大值 1 开始。把这第一个点画对是保证整张草图正确的最快方法，所以务必先确定起点，再画曲线其余部分。
正切图象和正弦、余弦长得一样吗？
不一样。正切不是限制在 −1 到 1 之间的波。
它陡峭上升，在 90° 和 270° 处无定义、有竖直渐近线，且每 180° 重复一次。先画出虚线竖直渐近线，再画它们之间上升的分支。