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三角函数的比值与图形 · 中五

三角函数的比值与图形：例题（KBAT）

把三角学藏在情境里的真实问题：你必须画出图形，从两个三角形或运动模型建立方程，并经过多个步骤传递数值。适合冲刺高阶应用题的学生。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

例题 1

从平地上的A点看旗杆顶部的仰角为34°。朝旗杆直走25 m到B点，仰角变为48°。

求旗杆的高度，准确到最接近的0.1 m。

  1. 设 h 为旗杆高度，x 为 B 点到旗杆底部的水平距离。
  2. 从 B：tan 48° = h / x，所以 x = h / tan 48°。
  3. 从 A（比 B 靠后25 m）：tan 34° = h / (x + 25)，所以 x + 25 = h / tan 34°。
  4. 用第二式减第一式：(h / tan 34°) − (h / tan 48°) = 25。
  5. h (1/tan 34° − 1/tan 48°) = 25 → h (1.4826 − 0.9004) = 25 → h (0.5822) = 25。
  6. h = 25 / 0.5822 = 42.9 m。

例题 2

早上9点太阳的仰角为58°，一根垂直灯柱在平地上投下4.2 m长的影子。到了下午，影子变长为7.5 m。

求 (a) 灯柱的高度，(b) 下午太阳的仰角，准确到最接近的度数。

  1. (a) 灯柱、影子和太阳光线构成一个直角三角形：tan 58° = 高度 / 4.2。
  2. 高度 = 4.2 × tan 58° = 4.2 × 1.6003 = 6.72 m。
  3. (b) 灯柱高度不变。下午：tan θ = 6.72 / 7.5 = 0.8962。
  4. θ = tan⁻¹(0.8962) = 41.9° ≈ 42°。

例题 3

旋转轮上的一个座位从最低点开始。当轮子转过角度 x 时，座位高出最低点的高度（以米计）用 h = 5 − 5 cos x 建模，其中 0° ≤ x ≤ 360°。

求座位在最低点上方7.5 m时的角度。

  1. 让模型等于7.5：5 − 5 cos x = 7.5。
  2. −5 cos x = 7.5 − 5 = 2.5，所以 cos x = −0.5。
  3. 参考角 = cos⁻¹(0.5) = 60°；cos x 为负，所以 x 在第二和第三象限。
  4. x = 180° − 60° = 120° 及 x = 180° + 60° = 240°。

例题 4

一架无人机悬停在两位相距 200 m 的观察者 A 和 B 之间一条笔直水平道路上某点的正上方。从 A 看无人机的仰角为 40°，从 B 看为 55°。

求无人机在道路上方的高度，准确到小数点后 2 位。

  1. 设高度为 h m，无人机在 A 的水平方向 x m 处，则距 B 为 (200 − x) m。
  2. 从 A：tan 40° = h/x，所以 x = h/tan 40°。从 B：tan 55° = h/(200 − x)，所以 200 − x = h/tan 55°。
  3. 把两段水平距离相加：h/tan 40° + h/tan 55° = 200。
  4. h(1.1918 + 0.7002) = 200 → h(1.8920) = 200 → h = 200 / 1.8920 = 105.71 m。

例题 5

一片长 6 m 的风车叶片绕着固定在地面上方 8 m 的轮毂旋转。旋转时，叶尖离地面的高度由 h = 8 + 6 sin x 模型表示，其中 x 为转过的角度，0° ≤ x ≤ 360°。

(a) 写出叶尖的最大高度。(b) 求叶尖离地面 5 m 时 x 的所有值。

  1. (a) sin x 的最大值为 1，所以最大高度为 8 + 6(1) = 14 m。
  2. (b) 令 h = 5：8 + 6 sin x = 5，所以 6 sin x = −3，sin x = −½。
  3. 基本角为 30°；sin x 为负，所以 x 在第三和第四象限。
  4. x = 180° + 30° = 210° 或 x = 360° − 30° = 330°。

例题 6

一座垂直塔立于平地上，塔顶垂直安装了一根旗杆。从地面上距塔底 18 m 的点 P，看塔顶的仰角为 52°，看旗杆顶的仰角为 58°。

求旗杆的高度，准确到小数点后 2 位。

  1. 塔顶离地面的高度：h₁ = 18 tan 52° = 18 × 1.2799 = 23.04 m。
  2. 旗杆顶离地面的高度：h₂ = 18 tan 58° = 18 × 1.6003 = 28.81 m。
  3. 旗杆是这两个高度之间的部分：旗杆 = h₂ − h₁。
  4. 旗杆 = 28.81 − 23.04 = 5.77 m。

例题 7

一根高杆和一根矮杆(高4米)立在同一片平地上，矮杆离观察者较近。从矮杆脚处望向高杆顶端的仰角为40°。

从矮杆顶端望向高杆顶端的仰角为32°。求高杆的高度，精确到小数点后两位。

  1. 设H为高杆的高度，d为两杆之间的水平距离。
  2. 从矮杆脚处：tan 40° = H/d，所以H = d tan 40°。
  3. 从矮杆顶端(高4米):tan 32° = (H − 4)/d，所以H = d tan 32° + 4。
  4. 令两式相等：d tan 40° = d tan 32° + 4 → d(tan 40° − tan 32°) = 4 → d = 4/(0.8391 − 0.6249) = 4/0.2142 ≈ 18.67米。
  5. H = d tan 40° = 18.67 × 0.8391 ≈ 15.67米。

例题 8

测量员站在笔直河流一岸的A点，正对着对岸的一棵树T，然后沿河岸走50米到B点。测得角TBA为34°。

(a) 求河的宽度。(b) 从B点望向树顶的仰角为8°。

求树的高度，精确到小数点后两位。

  1. 在直角三角形TAB中(直角在A点):tan 34° = AT/AB = AT/50，所以AT = 50 tan 34° = 50 × 0.6745 ≈ 33.73米，这就是河的宽度。
  2. 求地面距离BT:cos 34° = AB/BT = 50/BT，所以BT = 50/cos 34° = 50/0.8290 ≈ 60.31米。
  3. 在B点的竖直三角形中：tan 8° = 树高/BT，所以树高 = 60.31 × tan 8° = 60.31 × 0.1405 ≈ 8.48米。

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

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常见问题

为什么三角函数的 KBAT 题目比前面的图像题、比值题更难？

KBAT 题目通常把三角函数放进真实或不熟悉的情境里，两个共用一条边的三角形、需要从画出的图像上读出交点来解决的问题，或是要求你在给出数字之前先判断该用哪个三角比的情境。你得先规划好整个解题路径。

考官在三角函数 KBAT 解答中看重什么？

得分靠一条逻辑清晰的解题链，认出正确的三角形或图像特征、写明用到的比值或读数，并把每一步和下一步的联系说清楚。只写对最终答案而没有推理过程，得分会比一份不完整但结构清晰的尝试低得多。

这套 KBAT 题里，实力强的学生也容易掉进什么陷阱？

还没画出情境示意图就急着计算，导致用错角度或边；把涉及两个三角形的问题当成一个三角形处理；在图像题里，估读交点时把坐标轴的刻度看错。放慢脚步先规划，通常能避开这三种陷阱。

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