三角函数的比值与图形：例题（中等）

例题 1

1. 设 h₁ 为建筑物在眼睛水平以上的高度。水平距离为30 m。
2. tan 42° = h₁ / 30，所以 h₁ = 30 × tan 42° = 30 × 0.9004 = 27.01 m。
3. 眼睛离地面1.5 m，所以总高度 = 27.01 + 1.5。
4. 建筑物高度 = 28.51 ≈ 28.5 m。

例题 2

1. 整理：2 cos x = −1，所以 cos x = −1/2 = −0.5。
2. 参考角 = cos⁻¹(0.5) = 60°。
3. cos x 为负，所以 x 在第二和第三象限。
4. 第二象限：x = 180° − 60° = 120°。第三象限：x = 180° + 60° = 240°。

例题 3

1. (a) 振幅为3，所以 y 从 −3 到 3：最大值 = 3，最小值 = −3。
2. (b) 对于 y = 3 sin x，当 sin x = 1 时取最大值，即 x = 90°。最高点 = (90°, 3)。
3. (c) 3 sin x = 2 即 sin x = 2/3 ≈ 0.667，是一条介于 −3 和 3 之间的水平线 y = 2。
4. 水平线 y = 2 与正弦曲线的单个波峰相交两次（一次上升，一次下降），所以有2个解。

例题 4

1. 整理：4 sin x = 1 − 3 = −2，所以 sin x = −½。
2. 基本角（参考角）是 sin⁻¹(½) = 30°。
3. 由于 sin x 为负，x 位于第三和第四象限。
4. 第三象限：x = 180° + 30° = 210°。第四象限：x = 360° − 30° = 330°。

例题 5

1. 从顶端看的俯角等于从船看的仰角，所以船处的角是 35°。
2. 悬崖（80 m）是这个角的对边，水平距离 d 是邻边，所以 tan 35° = 80 / d。
3. 整理：d = 80 / tan 35°。
4. d = 80 / 0.7002 = 114.25 m。

例题 6

1. 求参考角时，用一个对边为 3、斜边为 5 的直角三角形；邻边为 √(5² − 3²) = √16 = 4。
2. 所以参考角的比值为 cos = 4/5，tan = 3/4。
3. θ 是钝角，位于第二象限，该象限余弦和正切为负（只有正弦为正）。
4. 因此 cos θ = −4/5，tan θ = −3/4。

例题 7

1. 设θ为梯子与地面的夹角。cos θ = 邻边/斜边 = 2.5/6.5。
2. θ = cos⁻¹(2.5/6.5) = cos⁻¹(0.3846) ≈ 67.4°,所以θ ≈ 67°（精确到最接近的度数）。
3. 墙上到达的高度 = √(6.5² − 2.5²) = √(42.25 − 6.25) = √36 = 6米。

例题 8

1. 3 tan x = 6，所以tan x = 2。
2. 基本角/参考角 = tan⁻¹(2) = 63.4°。
3. tan x在第一和第三象限为正，所以x = 63.4°或x = 180° + 63.4° = 243.4°。

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)