三角函数的比值与图形 · 6.1.4
解决三角比相关问题
学生综合运用三角比、参考角、象限符号规则以及 sin²θ + cos²θ = 1 等恒等式，解决多步骤问题。这可能包括根据已知条件求出未知比值、检查各比值之间是否一致，或处理实际情境或几何情境中的问题。
官方学习标准 (6.1.4)
“解决涉及正弦、余弦和正切的问题。”
它的含义
学生综合运用三角比、参考角、象限符号规则以及 sin²θ + cos²θ = 1 等恒等式，解决多步骤问题。这可能包括根据已知条件求出未知比值、检查各比值之间是否一致，或处理实际情境或几何情境中的问题。
如何考查
这项能力主要出现在纸卷二，题目会给出部分信息（如一个比值及另一比值的符号），要求学生求出相关的比值或角度，通常需要用到毕氏恒等式。纸卷一可能以较简短的客观题形式，测试较简单的组合比值计算。
例题
已知 sin x° = 0.8 且 cos x° < 0,0° ≤ x ≤ 360°,求 tan x° 的值。
- 由于 sin x 为正、cos x 为负，x 位于第二象限。
- 使用恒等式 sin²x + cos²x = 1:cos²x = 1 - 0.8² = 1 - 0.64 = 0.36。
- cos x = -√0.36 = -0.6(取负值，因为 x 在第二象限)。
- tan x = sin x ÷ cos x = 0.8 ÷ (-0.6) = -4/3。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
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常见问题
我需要求出角度 x 本身，还是只求比值？
仔细读题，有些题目只要求相关的比值(如本例中的 tan x)，可直接用恒等式求出，不必先算出 x。有些题目则明确要求角度，这时仍需先求参考角，再用象限法则确定角度。
为什么这里 cos x 是负数而不是正数？
题目已说明 cos x° < 0，而第二象限正是唯一一个正弦为正、余弦同时为负的象限。对 cos²x 开平方根会得到 ±0.6，而正负号条件告诉我们要取负值 -0.6。
我可以直接用计算器求 sin⁻¹(0.8) 吗？
你可以求出参考角 sin⁻¹(0.8) ≈ 53.13°,再算出第二象限的 x，但由于题目只要求 tan x° 的值，这样做多了一步不必要的运算。直接使用毕氏恒等式更快，也能避免因求角度而产生的四舍五入误差。