BM
Tempah Kelas Percubaan

Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah · Tingkatan 4

Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah: Contoh Berjawab (KBAT)

Set ini menangani pengoptimuman dunia sebenar: membaca situasi berayat, membina sistem ketaksamaan lengkap, kemudian menguji setiap bucu untuk mencari maksimum atau minimum. Sesuai untuk murid yang mensasarkan markah penuh bagi soalan aplikasi yang menyembunyikan teknik dalam cerita.

Ditulis oleh pasukan editorial spmmath.com.my.

Contoh berjawab 1

Sebuah kedai roti membuat kek coklat (x) dan kek vanila (y) dalam sehari. Setiap kek coklat menggunakan 200 g tepung dan setiap kek vanila menggunakan 100 g, dengan 1200 g tepung tersedia.

Setiap kek mengambil 1 jam masa membakar, dan 8 jam tersedia. Untung ialah RM4 bagi setiap kek coklat dan RM3 bagi setiap kek vanila.

Berapa banyak setiap satu perlu dibuat untuk memaksimumkan untung, dan berapakah untung maksimum?

  1. Biar x = kek coklat dan y = kek vanila.
  2. Tepung: 200x + 100y ≤ 1200, yang dipermudahkan kepada 2x + y ≤ 12.
  3. Masa: x + y ≤ 8; juga x ≥ 0 dan y ≥ 0.
  4. Cari bucu rantau tersaur: (0, 0), (6, 0), (0, 8) dan persilangan dua garis.
  5. Selesaikan 2x + y = 12 dan x + y = 8: menolaknya memberi x = 4, kemudian y = 4, jadi (4, 4).
  6. Untung P = 4x + 3y. Nilaikan: (0,0)→0, (6,0)→24, (0,8)→24, (4,4)→16 + 12 = 28.
  7. Nilai terbesar ialah 28, pada (4, 4).

Contoh berjawab 2

Sebuah sekolah menyewa bas besar (x), setiap satu membawa 40 pelajar, dan bas kecil (y), setiap satu membawa 20 pelajar, untuk satu lawatan. Sekurang-kurangnya 240 pelajar mesti dibawa, tidak lebih daripada 10 bas boleh disewa secara keseluruhan, dan paling banyak 5 bas besar tersedia.

Bas besar berharga RM300 dan bas kecil RM200. Cari berapa banyak setiap bas yang meminimumkan kos, dan nyatakan kos minimum.

  1. Biar x = bas besar dan y = bas kecil.
  2. Muatan: 40x + 20y ≥ 240, yang dipermudahkan kepada 2x + y ≥ 12.
  3. Jumlah bas: x + y ≤ 10; bas besar: x ≤ 5; juga x ≥ 0 dan y ≥ 0.
  4. Bucu datang daripada garis sempadan: 2x + y = 12, x + y = 10 dan x = 5.
  5. 2x + y = 12 ∩ x + y = 10 memberi x = 2, y = 8 → (2, 8).
  6. x = 5 ∩ x + y = 10 memberi y = 5 → (5, 5); x = 5 ∩ 2x + y = 12 memberi y = 2 → (5, 2).
  7. Kos C = 300x + 200y. Nilaikan: (2,8)→2200, (5,5)→2500, (5,2)→1900.
  8. Nilai terkecil ialah 1900, pada (5, 2); semak muatan: 40(5) + 20(2) = 240 ≥ 240.

Contoh berjawab 3

Seorang tukang jahit membuat kemeja (x) dan gaun (y). Sehelai kemeja menggunakan 1 m kain dan sehelai gaun menggunakan 2 m, dengan 40 m kain tersedia.

Sehelai kemeja mengambil 2 jam dan sehelai gaun mengambil 1 jam, dengan 50 jam tersedia. Untuk memenuhi tempahan, sekurang-kurangnya 6 gaun mesti dibuat.

Untung ialah RM15 bagi setiap kemeja dan RM25 bagi setiap gaun. Berapa banyak setiap satu perlu dibuat untuk memaksimumkan untung, dan berapakah untung maksimum?

  1. Biar x = kemeja dan y = gaun.
  2. Kain: x + 2y ≤ 40; masa: 2x + y ≤ 50.
  3. Tempahan: y ≥ 6; juga x ≥ 0.
  4. Bucu: (0, 6) dan (0, 20) pada paksi-y, serta dua persilangan.
  5. x + 2y = 40 ∩ 2x + y = 50: daripada yang pertama, x = 40 − 2y; gantikan untuk mendapat 80 − 3y = 50, jadi y = 10, x = 20 → (20, 10).
  6. 2x + y = 50 ∩ y = 6 memberi 2x = 44, x = 22 → (22, 6).
  7. Untung P = 15x + 25y. Nilaikan: (0,6)→150, (0,20)→500, (22,6)→480, (20,10)→300 + 250 = 550.
  8. Nilai terbesar ialah 550, pada (20, 10).

Contoh berjawab 4

Sebuah bengkel perabot membuat x rak buku dan y kabinet dalam seminggu. Setiap rak buku menggunakan 3 unit kayu dan setiap kabinet menggunakan 2 unit; paling banyak 36 unit kayu tersedia.

Setiap rak buku memerlukan 2 jam buruh dan setiap kabinet memerlukan 4 jam; paling banyak 40 jam buruh tersedia. Untung ialah RM50 bagi setiap rak buku dan RM60 bagi setiap kabinet.

Cari berapa banyak setiap satu perlu dibuat untuk memberi untung maksimum, dan nyatakan untung itu.

  1. Kayu: 3x + 2y ≤ 36. Buruh: 2x + 4y ≤ 40, yang dipermudah kepada x + 2y ≤ 20. Juga x ≥ 0, y ≥ 0.
  2. Cari titik penjuru rantau. Selesaikan 3x + 2y = 36 dan x + 2y = 20 serentak: tolak untuk dapat 2x = 16, jadi x = 8, kemudian y = 6 → (8, 6).
  3. Penjuru lain: (0, 10) daripada x + 2y = 20, (12, 0) daripada 3x + 2y = 36, dan (0, 0).
  4. Uji untung P = 50x + 60y pada setiap penjuru: (0,0)→0; (12,0)→600; (0,10)→600; (8,6)→400 + 360 = 760.
  5. Untung terbesar ialah RM760 pada (8, 6).

Contoh berjawab 5

Sebuah sekolah mesti mengangkut 180 pelajar menggunakan x van dan y bas mini. Setiap van memuatkan 15 dan setiap bas mini memuatkan 30, dan kesemuanya mesti memuatkan 180 pelajar.

Paling banyak 10 kenderaan tersedia. Setiap perjalanan van berkos RM60 dan setiap perjalanan bas mini berkos RM150.

Cari bilangan van dan bas mini yang memberi jumlah kos minimum, dan nyatakan kos itu.

  1. Tempat duduk: 15x + 30y ≥ 180, yang dipermudah kepada x + 2y ≥ 12. Kenderaan: x + y ≤ 10. Juga x ≥ 0, y ≥ 0.
  2. Cari titik penjuru. Selesaikan x + 2y = 12 dan x + y = 10 serentak: tolak untuk dapat y = 2, kemudian x = 8 → (8, 2).
  3. Penjuru lain: (0, 6) daripada x + 2y = 12 dengan x = 0, dan (0, 10) daripada x + y = 10 dengan x = 0.
  4. Uji kos C = 60x + 150y: (0,6)→900; (0,10)→1500; (8,2)→480 + 300 = 780.
  5. Kos terendah ialah RM780 pada (8, 2).

Contoh berjawab 6

Sebuah gerai makanan menyediakan x pinggan nasi lemak dan y pinggan mee goreng setiap pagi. Had beras dan bahan memberi 2x + y ≤ 60, dan had masa memasak memberi x + 2y ≤ 60.

Untuk memenuhi permintaan tetap, gerai mesti menyediakan sekurang-kurangnya 10 pinggan nasi lemak. Untung ialah RM3 bagi setiap pinggan nasi lemak dan RM4 bagi setiap pinggan mee goreng.

Cari bilangan setiap satu untuk untung maksimum, dan nyatakan untung itu.

  1. Kekangannya ialah 2x + y ≤ 60, x + 2y ≤ 60, x ≥ 10 dan y ≥ 0.
  2. Selesaikan 2x + y = 60 dan x + 2y = 60 serentak: daripada yang pertama y = 60 − 2x, gantikan untuk dapat x + 120 − 4x = 60, jadi 3x = 60, x = 20, y = 20 → (20, 20).
  3. Penjuru lain: (30, 0) daripada 2x + y = 60 dengan y = 0; (10, 25) daripada x + 2y = 60 dengan x = 10; dan (10, 0).
  4. Uji untung P = 3x + 4y: (10,0)→30; (30,0)→90; (10,25)→130; (20,20)→60 + 80 = 140.
  5. Untung terbesar ialah RM140 pada (20, 20).

Contoh berjawab 7

Sebuah syarikat mengiklankan produknya menggunakan iklan dalam talian (x) dan iklan akhbar (y). Setiap iklan dalam talian menjangkau 300 orang dan berkos RM40; setiap iklan akhbar menjangkau 100 orang dan berkos RM90.

Kempen itu mesti menjangkau sekurang-kurangnya 1800 orang. Jumlah bilangan iklan yang digunakan tidak boleh melebihi 12, dan sebanyak-banyaknya 7 iklan dalam talian boleh dijalankan.

Cari bilangan setiap jenis iklan yang meminimumkan jumlah kos, dan nyatakan kos minimum itu.

  1. Bina ketaksamaan: 300x + 100y ≥ 1800 → 3x + y ≥ 18; x + y ≤ 12; x ≤ 7; x ≥ 0, y ≥ 0
  2. Cari titik-titik bucu rantau boleh laku: (3, 9), (7, 5), (7, 0), (6, 0)
  3. Objektif: meminimumkan C = 40x + 90y
  4. Pada (3, 9): C = 40(3) + 90(9) = 120 + 810 = 930
  5. Pada (7, 5): C = 40(7) + 90(5) = 280 + 450 = 730
  6. Pada (7, 0): C = 40(7) + 90(0) = 280
  7. Pada (6, 0): C = 40(6) + 90(0) = 240
  8. Kos minimum ialah RM240, pada x = 6 iklan dalam talian dan y = 0 iklan akhbar

Contoh berjawab 8

Seorang tukang emas membuat gelang (x) dan rantai leher (y) setiap hari. Setiap gelang menggunakan 2 set manik dan mengambil masa 1 jam untuk dibuat; setiap rantai leher menggunakan 5 set manik dan mengambil masa 2 jam untuk dibuat.

Sebanyak-banyaknya 40 set manik dan 18 jam sahaja tersedia setiap hari. Untuk memenuhi pesanan tetap, sekurang-kurangnya 3 rantai leher mesti dibuat setiap hari.

Keuntungan ialah RM12 bagi setiap gelang dan RM25 bagi setiap rantai leher. Cari bilangan gelang dan rantai leher yang memaksimumkan keuntungan harian, dan nyatakan keuntungan maksimum itu.

  1. Bina ketaksamaan: 2x + 5y ≤ 40; x + 2y ≤ 18; y ≥ 3; x ≥ 0
  2. Cari titik-titik bucu rantau boleh laku: (0, 3), (0, 8), (10, 4), (12, 3)
  3. Objektif: memaksimumkan P = 12x + 25y
  4. Pada (0, 3): P = 12(0) + 25(3) = 75
  5. Pada (0, 8): P = 12(0) + 25(8) = 200
  6. Pada (10, 4): P = 12(10) + 25(4) = 120 + 100 = 220
  7. Pada (12, 3): P = 12(12) + 25(3) = 144 + 75 = 219
  8. Keuntungan maksimum ialah RM220, pada x = 10 gelang dan y = 4 rantai leher

Sumber:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

Tempah Kelas PercubaanPercubaan berbayar 1 jam · Balasan hari yang sama · dari RM50/jam

Soalan lazim

Apakah yang biasanya diminta oleh soalan KBAT ketaksamaan linear dua pemboleh ubah?

Soalan KBAT membenamkan ketaksamaan dalam masalah kekangan sebenar, contohnya bajet atau campuran dua produk, dan meminta anda membina sendiri ketaksamaan daripada situasi yang diterangkan sebelum melukis graf. Langkah akhir selalunya meminta gabungan terbaik dalam kawasan boleh laksana, jadi baca situasi dengan teliti untuk menentukan sama ada anda perlukan nilai maksimum atau minimum.

Bagaimana saya menukar masalah berayat kepada ketaksamaan yang betul tanpa gambar rajah untuk disalin?

Garisbawahi setiap nombor dan perkataan kekangan ("paling banyak", "sekurang-kurangnya", "tidak lebih daripada") dalam soalan, tetapkan pemboleh ubah kepada dua yang tidak diketahui, dan tukar setiap kekangan kepada satu ketaksamaan, satu ayat pada satu masa. Menulis kekangan secara berasingan sebelum menggabungkannya pada satu graf mengurangkan peluang terlepas pandang satu kekangan sepenuhnya.

Bagaimana saya mencari nilai maksimum atau minimum setelah mendapat kawasan boleh laksana?

Nilai optimum bagi ungkapan linear ke atas kawasan boleh laksana sentiasa berlaku pada salah satu titik penjurunya, jadi senaraikan koordinat setiap penjuru, gantikan setiap satu ke dalam ungkapan yang anda optimumkan, dan bandingkan keputusan. Jangan sesekali anggap jawapan terletak di dalam kawasan itu, sentiasa semak titik-titik penjuru.

Tempah Kelas Percubaan

Tempah Kelas Percubaan
Percubaan berbayar 1 jam · Balasan hari yang samadari RM50/jam
Tempah Kelas Percubaan