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二元线性不等式 · 中四

二元线性不等式：例题（KBAT）

这一组处理现实优化：读懂文字情境、建立完整的不等式组，再逐一检验每个顶点以求最大值或最小值。适合想在把技巧藏进情境的应用题中拿满分的学生。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

例题 1

一家面包店一天做巧克力蛋糕（x）和香草蛋糕（y）。每个巧克力蛋糕用 200 克面粉，每个香草蛋糕用 100 克，共有 1200 克面粉。

每个蛋糕需 1 小时烘烤时间，共有 8 小时。巧克力蛋糕每个利润 RM4，香草蛋糕每个 RM3。

为使利润最大，两种各应做多少个？最大利润是多少？

  1. 设 x = 巧克力蛋糕，y = 香草蛋糕。
  2. 面粉：200x + 100y ≤ 1200，化简为 2x + y ≤ 12。
  3. 时间：x + y ≤ 8；另有 x ≥ 0、y ≥ 0。
  4. 求可行区域的各顶点：(0, 0)、(6, 0)、(0, 8) 以及两线的交点。
  5. 解 2x + y = 12 与 x + y = 8：相减得 x = 4，再得 y = 4，即 (4, 4)。
  6. 利润 P = 4x + 3y。代入：(0,0)→0、(6,0)→24、(0,8)→24、(4,4)→16 + 12 = 28。
  7. 最大值为 28，在 (4, 4) 处。

例题 2

一所学校为出游租大巴（x），每辆载 40 名学生，以及小巴（y），每辆载 20 名学生。至少须载 240 名学生，总共租用不超过 10 辆巴士，大巴最多只有 5 辆可用。

大巴每辆 RM300，小巴每辆 RM200。求两种巴士各租多少辆使费用最小，并写出最小费用。

  1. 设 x = 大巴，y = 小巴。
  2. 载量：40x + 20y ≥ 240，化简为 2x + y ≥ 12。
  3. 巴士总数：x + y ≤ 10；大巴：x ≤ 5；另有 x ≥ 0、y ≥ 0。
  4. 顶点来自边界线：2x + y = 12、x + y = 10 和 x = 5。
  5. 2x + y = 12 与 x + y = 10 交点得 x = 2、y = 8 → (2, 8)。
  6. x = 5 与 x + y = 10 交点得 y = 5 → (5, 5)；x = 5 与 2x + y = 12 交点得 y = 2 → (5, 2)。
  7. 费用 C = 300x + 200y。代入：(2,8)→2200、(5,5)→2500、(5,2)→1900。
  8. 最小值为 1900，在 (5, 2) 处；核对载量：40(5) + 20(2) = 240 ≥ 240。

例题 3

一名裁缝做衬衫（x）和连衣裙（y）。一件衬衫用 1 米布，一件连衣裙用 2 米，共有 40 米布。

一件衬衫耗 2 小时，一件连衣裙耗 1 小时，共有 50 小时。为完成订单，至少须做 6 件连衣裙。

衬衫每件利润 RM15，连衣裙每件 RM25。为使利润最大，两种各应做多少件？

最大利润是多少？

  1. 设 x = 衬衫，y = 连衣裙。
  2. 布料：x + 2y ≤ 40；时间：2x + y ≤ 50。
  3. 订单：y ≥ 6；另有 x ≥ 0。
  4. 顶点：y 轴上的 (0, 6) 和 (0, 20)，加上两个交点。
  5. x + 2y = 40 与 2x + y = 50：由第一式 x = 40 − 2y；代入得 80 − 3y = 50，所以 y = 10、x = 20 → (20, 10)。
  6. 2x + y = 50 与 y = 6 得 2x = 44、x = 22 → (22, 6)。
  7. 利润 P = 15x + 25y。代入：(0,6)→150、(0,20)→500、(22,6)→480、(20,10)→300 + 250 = 550。
  8. 最大值为 550，在 (20, 10) 处。

例题 4

一间家具工坊一周制作 x 个书架和 y 个橱柜。每个书架用 3 单位木材，每个橱柜用 2 单位；最多有 36 单位木材。

每个书架需 2 小时人工，每个橱柜需 4 小时；最多有 40 小时人工。利润为每个书架 RM50、每个橱柜 RM60。

求各应制作多少以获得最大利润，并说明该利润。

  1. 木材：3x + 2y ≤ 36。人工：2x + 4y ≤ 40，化简为 x + 2y ≤ 20。另有 x ≥ 0，y ≥ 0。
  2. 求区域的顶点。联立 3x + 2y = 36 与 x + 2y = 20：相减得 2x = 16，所以 x = 8，再得 y = 6 → (8, 6)。
  3. 其他顶点：由 x + 2y = 20 得 (0, 10)，由 3x + 2y = 36 得 (12, 0)，以及 (0, 0)。
  4. 在各顶点计算利润 P = 50x + 60y：(0,0)→0；(12,0)→600；(0,10)→600；(8,6)→400 + 360 = 760。
  5. 最大利润是 RM760，在 (8, 6)。

例题 5

一所学校须用 x 辆客货车和 y 辆小巴运送 180 名学生。每辆客货车坐 15 人，每辆小巴坐 30 人，须坐下全部 180 名学生。

最多有 10 辆车。每趟客货车费用 RM60，每趟小巴费用 RM150。

求使总费用最低的客货车与小巴数目，并说明该费用。

  1. 座位：15x + 30y ≥ 180，化简为 x + 2y ≥ 12。车辆：x + y ≤ 10。另有 x ≥ 0，y ≥ 0。
  2. 求顶点。联立 x + 2y = 12 与 x + y = 10：相减得 y = 2，再得 x = 8 → (8, 2)。
  3. 其他顶点：x + 2y = 12 且 x = 0 得 (0, 6)，x + y = 10 且 x = 0 得 (0, 10)。
  4. 计算费用 C = 60x + 150y：(0,6)→900；(0,10)→1500；(8,2)→480 + 300 = 780。
  5. 最低费用是 RM780，在 (8, 2)。

例题 6

一个熟食摊每天早上准备 x 盘椰浆饭和 y 盘炒面。米和食材的限制给出 2x + y ≤ 60，烹饪时间的限制给出 x + 2y ≤ 60。

为满足固定需求，摊位必须准备至少 10 盘椰浆饭。利润为每盘椰浆饭 RM3、每盘炒面 RM4。

求各应准备多少以获最大利润，并说明该利润。

  1. 约束为 2x + y ≤ 60，x + 2y ≤ 60，x ≥ 10 和 y ≥ 0。
  2. 联立 2x + y = 60 与 x + 2y = 60：由第一式 y = 60 − 2x，代入得 x + 120 − 4x = 60，所以 3x = 60，x = 20，y = 20 → (20, 20)。
  3. 其他顶点：2x + y = 60 且 y = 0 得 (30, 0)；x + 2y = 60 且 x = 10 得 (10, 25)；以及 (10, 0)。
  4. 计算利润 P = 3x + 4y：(10,0)→30；(30,0)→90；(10,25)→130；(20,20)→60 + 80 = 140。
  5. 最大利润是 RM140，在 (20, 20)。

例题 7

某公司使用网络广告(x)和报纸广告(y)进行宣传。每则网络广告覆盖300人，费用为RM40；每则报纸广告覆盖100人，费用为RM90。

此宣传活动必须覆盖至少1800人。所用广告总数不得超过12则，且网络广告最多只能投放7则。

求使总费用最低的每种广告数量，并写出最低费用。

  1. 列出不等式：300x + 100y ≥ 1800 → 3x + y ≥ 18;x + y ≤ 12;x ≤ 7;x ≥ 0, y ≥ 0
  2. 求可行区域的顶点：(3, 9)、(7, 5)、(7, 0)、(6, 0)
  3. 目标：使 C = 40x + 90y 最小
  4. 在 (3, 9) 处：C = 40(3) + 90(9) = 120 + 810 = 930
  5. 在 (7, 5) 处：C = 40(7) + 90(5) = 280 + 450 = 730
  6. 在 (7, 0) 处：C = 40(7) + 90(0) = 280
  7. 在 (6, 0) 处：C = 40(6) + 90(0) = 240
  8. 最低费用为RM240，此时 x = 6 则网络广告，y = 0 则报纸广告

例题 8

一位珠宝匠每天制作手链(x)和项链(y)。每条手链需要2套珠子，制作耗时1小时；每条项链需要5套珠子，制作耗时2小时。

每天最多有40套珠子和18小时可用。为了满足长期订单，每天至少要制作3条项链。

每条手链利润为RM12，每条项链利润为RM25。求使每日利润最大化的手链和项链数量，并写出最大利润。

  1. 列出不等式：2x + 5y ≤ 40;x + 2y ≤ 18;y ≥ 3;x ≥ 0
  2. 求可行区域的顶点：(0, 3)、(0, 8)、(10, 4)、(12, 3)
  3. 目标：使 P = 12x + 25y 最大
  4. 在 (0, 3) 处：P = 12(0) + 25(3) = 75
  5. 在 (0, 8) 处：P = 12(0) + 25(8) = 200
  6. 在 (10, 4) 处：P = 12(10) + 25(4) = 120 + 100 = 220
  7. 在 (12, 3) 处：P = 12(12) + 25(3) = 144 + 75 = 219
  8. 最大利润为RM220，此时 x = 10 条手链，y = 4 条项链

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

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常见问题

二元一次不等式的KBAT题目通常会考什么？

KBAT题目会把不等式包装在真实的约束情境中，例如预算限制或两种产品的搭配数量，要求你先根据文字描述自行列出不等式，再画图求解。最后一步通常要你从可行区域中找出最佳组合，所以做题前要仔细阅读题意，判断题目要求的是最大值还是最小值，再决定要检验可行区域中的哪些顶点。

没有图形可参考时，如何把文字应用题正确转化为不等式？

先在题目中把每一个数字和约束性词语(如“最多”“至少”“不超过”)划线标出，再为两个未知量设定变量，然后逐句把每个约束条件转化为一个不等式。建议先把各个约束条件分开写清楚，最后才一起画在同一张图上，这样可以大大降低漏掉某个约束条件的风险。

找到可行区域后，如何求出最大值或最小值？

在可行区域内，线性表达式的最优值（最大或最小）一定出现在区域的某个顶点上，所以要先列出所有顶点的坐标，把每个顶点代入要求最值的表达式中，再比较各结果的大小。切勿以为答案会出现在区域内部，一定要逐一检验各个顶点，才能确保找到正确的最优值。

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