Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah · Tingkatan 4
Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah: Contoh Berjawab (Sederhana)
Set ini beralih kepada sistem ketaksamaan: menulis semua kekangan bagi sesuatu situasi, menyenaraikan titik integer dalam rantau, dan mendapatkan semula ketaksamaan daripada garis sempadan yang melalui dua titik. Sesuai untuk murid yang mantap dengan ketaksamaan tunggal dan bersedia menggabungkannya.
Contoh berjawab 1
Seorang murid membeli x pen dan y buku nota. Setiap pen berharga RM2 dan setiap buku nota berharga RM5.
Dia boleh belanja paling banyak RM30, dan mahu sekurang-kurangnya 3 pen. Tuliskan satu sistem ketaksamaan untuk mewakili situasi ini.
- Jumlah kos = 2x + 5y, dan "paling banyak RM30" memberi 2x + 5y ≤ 30.
- "Sekurang-kurangnya 3 pen" memberi x ≥ 3.
- Bilangan buku nota tidak boleh negatif, jadi y ≥ 0.
- Kumpulkan semua kekangan dalam satu sistem.
Contoh berjawab 2
Senaraikan semua titik integer (x, y) dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0 yang memenuhi kedua-dua x + y ≤ 3 dan y ≤ x.
- Kekangannya ialah x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3 dan y ≤ x. Uji setiap nilai x integer satu demi satu.
- x = 0: y ≤ x memberi y ≤ 0, jadi y = 0 → (0, 0).
- x = 1: y ≤ 1 dan x + y ≤ 3 membenarkan y = 0, 1 → (1, 0), (1, 1).
- x = 2: y ≤ 2 tetapi x + y ≤ 3 mengehadkan y ≤ 1, jadi y = 0, 1 → (2, 0), (2, 1).
- x = 3: x + y ≤ 3 memaksa y ≤ 0, jadi y = 0 → (3, 0).
Contoh berjawab 3
Satu garis sempadan melalui titik (0, 2) dan (4, 0). Rantau berlorek terletak di bawah garis ini, dan garis itu sendiri termasuk.
Tuliskan ketaksamaan yang menerangkan rantau tersebut.
- Kecerunan m = (0 − 2) ÷ (4 − 0) = −2 ÷ 4 = −½.
- Pintasan-y ialah 2, jadi garisnya y = −½x + 2.
- Darab dengan 2 untuk menghapus pecahan: 2y = −x + 4, iaitu x + 2y = 4.
- Di bawah dan termasuk bermaksud ≤; uji asalan (0, 0): 0 + 0 = 0 ≤ 4 adalah benar.
- Asalan berada di bawah garis dan memenuhinya, jadi tandanya betul.
Contoh berjawab 4
Sebuah bengkel membuat x meja dan y kerusi dalam sehari. Setiap meja memerlukan 4 jam dan setiap kerusi memerlukan 2 jam kerja, dan terdapat paling banyak 40 jam kerja dalam sehari.
Bengkel itu mesti membuat sekurang-kurangnya 5 kerusi. Tuliskan semua ketaksamaan yang mewakili keadaan ini (termasuk x ≥ 0).
- Jumlah jam kerja: 4 jam setiap meja dan 2 jam setiap kerusi, paling banyak 40 jam → 4x + 2y ≤ 40.
- Sekurang-kurangnya 5 kerusi → y ≥ 5.
- Bilangan yang dibuat tidak boleh negatif → x ≥ 0 dan y ≥ 0.
- Jadi sistemnya ialah 4x + 2y ≤ 40, y ≥ 5, x ≥ 0, y ≥ 0.
Contoh berjawab 5
Senaraikan semua titik integer (x, y) yang memenuhi kesemua ketaksamaan ini: x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 4 dan x ≥ y.
- Uji y = 0: x + 0 ≤ 4 dan x ≥ 0, jadi x = 0, 1, 2, 3, 4 → (0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (4,0).
- Uji y = 1: x + 2 ≤ 4 memberi x ≤ 2, dan x ≥ 1, jadi x = 1, 2 → (1,1), (2,1).
- Uji y = 2: x + 4 ≤ 4 memberi x ≤ 0, tetapi x ≥ y = 2 gagal, jadi tiada titik.
- Kumpulkan semua titik yang sah.
Contoh berjawab 6
Satu garis lurus melalui titik (0, −3) dan (3, 3). Rantau di atas garis, tidak termasuk garis itu sendiri, dikehendaki.
Tuliskan ketaksamaan yang mewakili rantau ini.
- Kecerunan m = (3 − (−3)) ÷ (3 − 0) = 6 ÷ 3 = 2.
- Garis memotong paksi-y pada −3, jadi persamaannya ialah y = 2x − 3.
- 'Di atas garis, tidak termasuk garis' bermaksud y lebih besar secara tegas daripada nilai garis.
- Ketaksamaannya ialah y > 2x − 3.
Contoh berjawab 7
Senaraikan semua titik integer (x, y) dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0 yang memenuhi kedua-dua 2x + y ≤ 6 dan y ≥ 1.
- Untuk x = 0: y ≥ 1 dan y ≤ 6, maka y = 1, 2, 3, 4, 5, 6
- Untuk x = 1: y ≥ 1 dan 2 + y ≤ 6 maka y ≤ 4, maka y = 1, 2, 3, 4
- Untuk x = 2: y ≥ 1 dan 4 + y ≤ 6 maka y ≤ 2, maka y = 1, 2
- Untuk x = 3: 6 + y ≤ 6 bermaksud y ≤ 0, yang bercanggah dengan y ≥ 1, maka tiada titik
- Kumpulkan semua titik yang ditemui
Contoh berjawab 8
Satu garis sempadan melalui titik (0, 4) dan (2, 0). Rantau berlorek terletak di atas garis ini, dan garis itu sendiri tidak disertakan.
Tuliskan ketaksamaan yang menerangkan rantau itu.
- Kecerunan = (0 − 4) / (2 − 0) = −4/2 = −2
- Menggunakan pintasan-y 4, garis itu ialah y = −2x + 4
- 'Di atas garis, tidak disertakan' bermaksud y > −2x + 4
- Disusun semula: 2x + y > 4
Sumber:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
Soalan lazim
Bagaimana saya patut mendekati soalan tahap sederhana yang menggabungkan dua atau lebih ketaksamaan linear?
Lukiskan setiap garis sempadan pada paksi yang sama dahulu, menggunakan skala yang betul, kemudian lorek kawasan bagi setiap ketaksamaan dan kenal pasti kawasan boleh laksana di mana semua lorekan bertindih. Labelkan kawasan boleh laksana dengan jelas, kerana sesetengah soalan meminta anda membaca nilai maksimum atau minimum daripadanya.
Bekerja garis demi garis mengelakkan kekeliruan kawasan.
Apakah kesilapan biasa apabila memilih skala paksi dalam soalan-soalan ini?
Pelajar kadangkala memilih skala yang terlalu kecil untuk memuatkan semua ketaksamaan yang diberi pada grid yang disediakan, memaksa mereka melukis semula segalanya. Sebelum memplot, semak pintasan terbesar antara semua ketaksamaan dan pilih skala yang muat dengan selesa, menggunakan kertas graf yang disediakan dan bukan meneka.
Bagaimana saya menyemak sama ada satu titik benar-benar terletak dalam kawasan boleh laksana?
Gantikan koordinat titik itu ke dalam setiap ketaksamaan dalam soalan, bukan hanya satu, satu titik hanya terletak dalam kawasan boleh laksana jika ia memenuhi semua ketaksamaan serentak. Semakan gantian ini juga cara paling pantas untuk mengesahkan gambar rajah lorekan anda sebelum meneruskan ke bahagian seterusnya.