Sukatan Serakan bagi Data Terkumpul · Tingkatan 5

Sukatan Serakan bagi Data Terkumpul: Contoh Berjawab (Sederhana)

Menggabungkan dua atau tiga langkah: menganggar median dan kuartil secara interpolasi, mencari julat antara kuartil, dan menyelesai balik kekerapan yang hilang daripada min yang diberi. Untuk pelajar yang sudah boleh setiap langkah tunggal dan kini perlu menghubungkannya.

Ditulis oleh pasukan editorial spmmath.com.my.

Contoh berjawab 1

Jisim (g) 40 biji telur dikumpulkan sebagai: 20–29 (4), 30–39 (8), 40–49 (12), 50–59 (9), 60–69 (7). Anggarkan median secara interpolasi.

Kekerapan longgokan: 4, 12, 24, 33, 40, jadi Σf = n = 40.
n ÷ 2 = 20; kekerapan longgokan mencapai 20 dalam kelas 40–49, jadi ini kelas median.
Baca L = 39.5 (sempadan bawah), F = 12 (longgokan sebelum), f_m = 12, saiz kelas c = 10.
Median = L + ((n/2 − F) ÷ f_m) × c = 39.5 + ((20 − 12) ÷ 12) × 10.
= 39.5 + (8 ÷ 12) × 10 = 39.5 + 6.67 = 46.17.

Contoh berjawab 2

Masa (saat) yang diambil oleh 30 pelari dikumpulkan sebagai: 1–10 (2), 11–20 (5), 21–30 (9), 31–40 (8), 41–50 (6). Cari julat antara kuartil secara interpolasi.

Kekerapan longgokan: 2, 7, 16, 24, 30; n = 30.
Kedudukan Q1 = n ÷ 4 = 7.5; ia jatuh dalam kelas 21–30 (L = 20.5, F = 7, f = 9, c = 10).
Q1 = 20.5 + ((7.5 − 7) ÷ 9) × 10 = 20.5 + 0.56 = 21.06.
Kedudukan Q3 = 3n ÷ 4 = 22.5; ia jatuh dalam kelas 31–40 (L = 30.5, F = 16, f = 8, c = 10).
Q3 = 30.5 + ((22.5 − 16) ÷ 8) × 10 = 30.5 + 8.13 = 38.63.
Julat antara kuartil = Q3 − Q1 = 38.63 − 21.06 = 17.57.

Contoh berjawab 3

Min anggaran bagi data di bawah ialah 33. Cari nilai k.

Kelas 10–19 (5), 20–29 (8), 30–39 (k), 40–49 (6), 50–59 (3).

Titik tengah x: 14.5, 24.5, 34.5, 44.5, 54.5.
Σf = 5 + 8 + k + 6 + 3 = 22 + k.
Σfx = 72.5 + 196 + 34.5k + 267 + 163.5 = 699 + 34.5k.
Tetapkan min = Σfx ÷ Σf = 33: (699 + 34.5k) ÷ (22 + k) = 33.
699 + 34.5k = 726 + 33k → 1.5k = 27 → k = 18.

Contoh berjawab 4

Jadual menunjukkan bilangan jam yang dihabiskan oleh 20 pelajar untuk ulang kaji dalam seminggu: 0–2 (2), 3–5 (5), 6–8 (8), 9–11 (5). Anggarkan min dan sisihan piawai bilangan jam.

Titik tengah x: 1, 4, 7, 10. Kekerapan f: 2, 5, 8, 5 (Σf = 20).
Σfx = 2(1) + 5(4) + 8(7) + 5(10) = 2 + 20 + 56 + 50 = 128, jadi min = 128/20 = 6.4 jam.
Σfx² = 2(1²) + 5(4²) + 8(7²) + 5(10²) = 2 + 80 + 392 + 500 = 974.
Varians = Σfx²/Σf − (min)² = 974/20 − 6.4² = 48.7 − 40.96 = 7.74; sisihan piawai = √7.74 = 2.78 jam.

Contoh berjawab 5

Jadual menunjukkan jisim, dalam kg, bagi 50 ekor ayam: 1.0–1.4 (6), 1.5–1.9 (12), 2.0–2.4 (18), 2.5–2.9 (9), 3.0–3.4 (5). Cari kuartil ketiga (Q₃) secara interpolasi.

Kedudukan Q₃ ialah 3n/4 = 3(50)/4 = nilai ke-37.5.
Kekerapan longgokan: 6, 18, 36, 45, 50; nilai ke-37.5 terletak dalam kelas 2.5–2.9 (cf sebelumnya = 36).
Bagi kelas ini: sempadan bawah L = 2.45, cf sebelum F = 36, kekerapan f = 9, saiz selang kelas c = 0.5.
Q₃ = L + ((3n/4 − F)/f) × c = 2.45 + ((37.5 − 36)/9) × 0.5 = 2.45 + 0.083 = 2.53 kg.

Contoh berjawab 6

Jadual menunjukkan bilangan unit yang dijual sehari di sebuah gerai selama 40 hari: 10–19 (5), 20–29 (8), 30–39 (15), 40–49 (7), 50–59 (5). Anggarkan mod menggunakan formula kelas mod.

Kelas mod ialah 30–39 kerana ia mempunyai kekerapan tertinggi (15).
Sempadan bawah L = 29.5; Δ₁ = 15 − 8 = 7 (dengan kelas sebelum); Δ₂ = 15 − 7 = 8 (dengan kelas selepas); saiz selang kelas c = 10.
Mod = L + (Δ₁/(Δ₁ + Δ₂)) × c.
Mod = 29.5 + (7/(7 + 8)) × 10 = 29.5 + (7/15) × 10 = 29.5 + 4.67 = 34.17 unit.

Contoh berjawab 7

Jadual menunjukkan jisim, dalam kg, 45 ekor ikan yang ditangkap dalam satu pertandingan: 0.5–0.9 (5), 1.0–1.4 (10), 1.5–1.9 (15), 2.0–2.4 (10), 2.5–2.9 (5). Anggarkan min jisim dan sisihan piawai jisim tersebut.

Titik tengah: 0.7, 1.2, 1.7, 2.2, 2.7. Σf = 45.
Σfx = 5(0.7)+10(1.2)+15(1.7)+10(2.2)+5(2.7) = 3.5+12+25.5+22+13.5 = 76.5. Min = 76.5/45 = 1.7 kg.
Σfx² = 5(0.49)+10(1.44)+15(2.89)+10(4.84)+5(7.29) = 2.45+14.4+43.35+48.4+36.45 = 145.05.
Varians = Σfx²/Σf − min² = 145.05/45 − 1.7² = 3.2233 − 2.89 = 0.3333.
Sisihan piawai = √0.3333 ≈ 0.577 kg.

Contoh berjawab 8

Jadual menunjukkan masa, dalam minit, yang dihabiskan oleh pembeli-belah di sebuah kedai: 10–19 (6), 20–29 (m), 30–39 (14), 40–49 (5). Jika median masa ialah 27 minit, cari nilai m.

Jumlah kekerapan n = 6+m+14+5 = 25+m.
Kelas median ialah 20–29 (sempadan bawah L = 19.5, kekerapan f = m, kekerapan longgokan sebelumnya F = 6, lebar kelas c = 10).
Guna rumus median: 27 = 19.5 + [(n/2 − F)/f] × c = 19.5 + [((25+m)/2 − 6)/m] × 10.
7.5 = [((25+m)/2 − 6)/m] × 10 → 0.75m = (25+m)/2 − 6 = 12.5 + 0.5m − 6.
0.75m − 0.5m = 6.5 → 0.25m = 6.5 → m = 26.

Sumber:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

Tempah Kelas PercubaanPercubaan berbayar 1 jam · Balasan hari yang sama · dari RM50/jam

Soalan lazim

Apakah yang baharu pada tahap sederhana berbanding soalan serakan terkumpul tahap mudah?

Soalan sederhana biasanya meminta anda membina jadual kekerapan longgokan dan melukis ogif, kemudian membaca median dan kuartil terus daripada lengkung, atau mengira julat dan julat antara kuartil daripada jadual terkumpul menggunakan sempadan atas dan bawah. Anda kini bekerja dengan keseluruhan set data, bukan sekadar nilai satu kelas sahaja.

Apakah yang dikehendaki pemeriksa dalam soalan ogif dan kuartil?

Lengkung licin melalui sempadan atas setiap kelas diplot melawan kekerapan longgokan, paksi berskala betul, dan garis binaan berlabel jelas yang menunjukkan di mana anda membaca nilai median atau kuartil. Bacaan itu sendiri mesti selari dengan lengkung anda, jawapan yang tidak sepadan dengan ogif yang dilukis akan hilang markah.

Apakah kesilapan biasa yang muncul pada tahap sederhana ini?

Memplot kekerapan longgokan melawan titik tengah kelas dan bukannya sempadan atas, terlupa memulakan ogif daripada sifar pada sempadan bawah kelas pertama, dan tersilap membaca kedudukan N/4, N/2 atau 3N/4 pada paksi menegak semasa mencari kuartil. Kesilapan persediaan kecil ini menggeser setiap nilai yang dibaca daripada lengkung.