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分组数据的离散量度 · 中五

分组数据的离散量度：例题（中等）

综合两三个步骤：用插值法估计中位数与四分位数、求四分位距、以及由已知平均值反推缺失的次数。适合已掌握单一步骤、要开始把它们串联起来的学生。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

例题 1

40 个鸡蛋的质量（g）分组如下：20–29（4）、30–39（8）、40–49（12）、50–59（9）、60–69（7）。用插值法估计中位数。

  1. 累积次数：4、12、24、33、40，所以 Σf = n = 40。
  2. n ÷ 2 = 20；累积次数在组别 40–49 达到 20，因此这是中位数组。
  3. 读取 L = 39.5（下边界）、F = 12（前一组累积次数）、fm = 12、组距 c = 10。
  4. 中位数 = L + ((n/2 − F) ÷ fm) × c = 39.5 + ((20 − 12) ÷ 12) × 10。
  5. = 39.5 + (8 ÷ 12) × 10 = 39.5 + 6.67 = 46.17。

例题 2

30 名跑者所用的时间（秒）分组如下：1–10（2）、11–20（5）、21–30（9）、31–40（8）、41–50（6）。用插值法求四分位距。

  1. 累积次数：2、7、16、24、30；n = 30。
  2. Q1 位置 = n ÷ 4 = 7.5；落在组别 21–30（L = 20.5、F = 7、f = 9、c = 10）。
  3. Q1 = 20.5 + ((7.5 − 7) ÷ 9) × 10 = 20.5 + 0.56 = 21.06。
  4. Q3 位置 = 3n ÷ 4 = 22.5；落在组别 31–40（L = 30.5、F = 16、f = 8、c = 10）。
  5. Q3 = 30.5 + ((22.5 − 16) ÷ 8) × 10 = 30.5 + 8.13 = 38.63。
  6. 四分位距 = Q3 − Q1 = 38.63 − 21.06 = 17.57。

例题 3

以下数据的估计平均值为 33。求 k 的值。

组别 10–19（5）、20–29（8）、30–39（k）、40–49（6）、50–59（3）。

  1. 组中点 x：14.5、24.5、34.5、44.5、54.5。
  2. Σf = 5 + 8 + k + 6 + 3 = 22 + k。
  3. Σfx = 72.5 + 196 + 34.5k + 267 + 163.5 = 699 + 34.5k。
  4. 令平均值 = Σfx ÷ Σf = 33：(699 + 34.5k) ÷ (22 + k) = 33。
  5. 699 + 34.5k = 726 + 33k → 1.5k = 27 → k = 18。

例题 4

下表列出 20 名学生一周内复习所花的小时数：0–2（2）、3–5（5）、6–8（8）、9–11（5）。估计小时数的平均数和标准差。

  1. 组中值 x：1、4、7、10。频率 f：2、5、8、5（Σf = 20）。
  2. Σfx = 2(1) + 5(4) + 8(7) + 5(10) = 2 + 20 + 56 + 50 = 128，所以平均数 = 128/20 = 6.4 小时。
  3. Σfx² = 2(1²) + 5(4²) + 8(7²) + 5(10²) = 2 + 80 + 392 + 500 = 974。
  4. 方差 = Σfx²/Σf − （平均数）² = 974/20 − 6.4² = 48.7 − 40.96 = 7.74；标准差 = √7.74 = 2.78 小时。

例题 5

下表列出 50 只鸡的质量（kg）：1.0–1.4（6）、1.5–1.9（12）、2.0–2.4（18）、2.5–2.9（9）、3.0–3.4（5）。用内插法求第三四分位数（Q₃）。

  1. Q₃ 的位置为 3n/4 = 3(50)/4 = 第 37.5 个数据。
  2. 累积频率：6、18、36、45、50；第 37.5 个数据落在组 2.5–2.9（其前累积频率 = 36）。
  3. 该组：下边界 L = 2.45，前累积频率 F = 36，频率 f = 9，组距 c = 0.5。
  4. Q₃ = L + ((3n/4 − F)/f) × c = 2.45 + ((37.5 − 36)/9) × 0.5 = 2.45 + 0.083 = 2.53 kg。

例题 6

下表列出某摊位 40 天内每天售出的单位数：10–19（5）、20–29（8）、30–39（15）、40–49（7）、50–59（5）。用众数组公式估计众数。

  1. 众数组是 30–39，因为它的频率最高（15）。
  2. 下边界 L = 29.5；Δ₁ = 15 − 8 = 7（与前一组比）；Δ₂ = 15 − 7 = 8（与后一组比）；组距 c = 10。
  3. 众数 = L + (Δ₁/(Δ₁ + Δ₂)) × c。
  4. 众数 = 29.5 + (7/(7 + 8)) × 10 = 29.5 + (7/15) × 10 = 29.5 + 4.67 = 34.17 单位。

例题 7

下表显示某比赛中捕获的45条鱼的质量（千克）:0.5–0.9(5条),1.0–1.4(10条),1.5–1.9(15条),2.0–2.4(10条),2.5–2.9(5条)。估计质量的平均数和标准差。

  1. 组中值：0.7、1.2、1.7、2.2、2.7。Σf = 45。
  2. Σfx = 5(0.7)+10(1.2)+15(1.7)+10(2.2)+5(2.7) = 3.5+12+25.5+22+13.5 = 76.5。平均数 = 76.5/45 = 1.7千克。
  3. Σfx² = 5(0.49)+10(1.44)+15(2.89)+10(4.84)+5(7.29) = 2.45+14.4+43.35+48.4+36.45 = 145.05。
  4. 方差 = Σfx²/Σf − 平均数² = 145.05/45 − 1.7² = 3.2233 − 2.89 = 0.3333。
  5. 标准差 = √0.3333 ≈ 0.577千克。

例题 8

下表显示顾客在一家商店逗留的时间（分钟）:10–19(6人),20–29(m人),30–39(14人),40–49(5人)。若逗留时间的中位数为27分钟，求m的值。

  1. 总频数n = 6+m+14+5 = 25+m。
  2. 中位数所在组为20–29(下边界L = 19.5，频数f = m，之前的累积频数F = 6，组距c = 10)。
  3. 应用中位数公式：27 = 19.5 + [(n/2 − F)/f] × 10 = 19.5 + [((25+m)/2 − 6)/m] × 10。
  4. 7.5 = [((25+m)/2 − 6)/m] × 10 → 0.75m = (25+m)/2 − 6 = 12.5 + 0.5m − 6。
  5. 0.75m − 0.5m = 6.5 → 0.25m = 6.5 → m = 26。

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

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常见问题

中阶题目比初阶的分组离散量题目多了什么？

中阶题目通常要求你先做出累积次数表并画出累积次数曲线（ogive），再从曲线上直接读出中位数和四分位数；或者用组的上下边界，从分组表里算出全距和四分位距。这时你要处理的是整组数据，而不只是单一组别的数值。

考官希望在累积曲线和四分位数题目里看到什么？

曲线要平滑地经过各组的上边界（纵轴为累积次数），坐标轴比例要正确，并清楚画出辅助线，标明你是从哪里读出中位数或四分位数的。读出的数值必须和你画的曲线一致，如果答案与曲线对不上，就会被扣分。

中阶阶段常出现的错误有哪些？

把累积次数画在组中点上而不是上边界、忘记曲线要从第一组下边界的0开始画，以及在纵轴上找 N/4、N/2 或 3N/4 的位置时读错，导致四分位数错误。这些小的设置错误会连带影响从曲线上读出的每一个数值。

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