中五 · Statistics and Probability
分组数据的离散量度
本章度量分组数据的分散，用组距、累积频率曲线（ogive）及其相关图形。
什么是分组数据的离散量度？
当数据被分到组距里，就不能直接用每个数值。本章说明如何从频数表求平均值、方差与标准差，以及如何画和读直方图、频数多边形与累积频率曲线（ogive）。
内容标准（DSKP）
DSKP KSSM 为本章设定了以下内容标准：
- 7.1 离散
- 7.2 离散量度
核心概念
用组中点代替数值
对分组数据，每次计算都用组中点作为整个组距的代表值。
累积频率曲线
累积频率曲线让你读出中位数与四分位数，从而得到四分位距。
从表求标准差
所给的分组公式用 Σfx 与 Σfx²。含这些列的清晰频数表，让计算几乎变成机械操作。
本章如何考
试卷二给一张频数表，求平均值与标准差；或给数据画累积频率曲线，再从中读出中位数与四分位距。精心构建的表格与平滑、准确的曲线，就是分数所在。
本章在考试中提供的公式
要避开的常见错误
- 该用组中点时用了组界（或相反）
- 把累积频率曲线画在错误的 x 值上
- 从仓促、不平滑的曲线上读中位数
三个 x 值，三种用途：组中点、组界、上界
分组数据的题目专坑那些混淆一个组能提供的三个 x 值的学生。组中点，一个组下限与上限的平均，代表该组内的每个数值，是你代入平均数和标准差计算的那个 x。
组界，通过填补组与组之间半个单位的空隙得到，决定直方图每根柱的宽度，也用来辨认和计算众数组。每个组的上界是你在累积频率曲线（ogif）上用来对应累积频率的 x 值，因为到该上界为止的所有数值都已被计入。
把正确的 x 配对正确的图，分数自然到手。
从累积频率曲线读出中位数和四分位数
累积频率曲线（ogif）把频率表变成一条平滑的累积曲线，它在第二卷的主要任务是通过读图而非公式给你中位数和四分位数。总共有 N 个数值时，中位数落在 N/2 处：在纵轴累积频率上找到 N/2，画一条水平线到曲线，再竖直向下在横轴读出数值。
第一四分位数 Q1 用 N/4，第三四分位数 Q3 用 3N/4，读法相同。注意，从累积频率曲线读分组数据时用 N/4、N/2、3N/4，不是短的未分组数据所用的 (N + 1) 位置。
四分位距就是 Q3 − Q1。
用平均数和标准差一起比较两组
常见的最后一小题要你用刚算出的数字去比较两组，两个班、两台机器、两个月，满分需要把两个数字放在一起解读。平均数告诉你中心：哪一组平均更高。
标准差告诉你稳定性：标准差较小表示数值紧密聚在平均数附近，所以该组更整齐、更可预测；较大则表示数值更分散。所以平均数相同但标准差较小的班级表现更稳定，标准差较大的机器则较不可靠。
永远要说明每个数字对这个情境说明了什么，而不只是哪个更大。
一道考试式例题
一张组中点整齐的频率表，一路算到平均数和标准差。
- 写出每组的组中点 x（该组上下限的平均）：35、45、55、65、75。
- 列出 fx 列：4×35 = 140，10×45 = 450，14×55 = 770，8×65 = 520，4×75 = 300。合计：Σf = 40，Σfx = 140 + 450 + 770 + 520 + 300 = 2180。
- 平均数 x̄ = Σfx ÷ Σf = 2180 ÷ 40 = 54.5 kg。
- 列出 fx² 列（f × x²）：4×35² = 4900，10×45² = 20250，14×55² = 42350，8×65² = 33800，4×75² = 22500。合计：Σfx² = 123800。
- 方差 σ² = Σfx²/Σf − x̄² = 123800 ÷ 40 − 54.5² = 3095 − 2970.25 = 124.75。
- 标准差 σ = √124.75 = 11.2 kg（3 位有效数字）。
如何复习本章
学习分组数据的离散量度
常见问题
本章如何考
SPM 数学通过 数学试卷一（客观题） 与 数学试卷二（主观题） 考查本章，依据上述 DSKP 内容标准。试卷二为步骤给分，因此写出每一步很重要。
要避开的常见错误
该用组中点时用了组界（或相反）; 把累积频率曲线画在错误的 x 值上; 从仓促、不平滑的曲线上读中位数.
本章在考试中提供的公式
是的，Mean (grouped)、Variance (grouped)、Standard deviation (grouped) 出现在考试提供的公式表上。本章其余内容需自行掌握。
求平均数时该用组中点还是组界？
永远用组中点，该组下限与上限的平均。组中点代表该组里的每个数值，所以它就是平均数和标准差里的那个 x。
组界只用于画直方图、累积频率曲线以及求众数组；它绝不进入平均数的计算。
画累积频率曲线时，累积频率对应的是什么？
对应每个组的上界，而不是组中点。累积频率数的是到该组顶端为止的所有数值，所以它必须落在上界之上。
还要在第一组的下界处加一个累积频率为零的起点，让曲线从横轴开始。
怎样从累积频率曲线读出中位数和四分位距？
有 N 个数值时，在累积频率轴上找到 N/2，水平读到曲线，再竖直下到横轴，得中位数。用同样方法在 N/4 读 Q1，在 3N/4 读 Q3。
四分位距为 Q3 − Q1。曲线要画得细而平滑，读数才准确。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)· SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)