分组数据的离散量度 · 中五
分组数据的离散量度：复习笔记
分组数据的离散量度 的精简复习总结（SPM 数学），核心概念、考试提供的公式，以及考前该聚焦的重点。
核心要点
当数据被分到组距里，就不能直接用每个数值。本章说明如何从频数表求平均值、方差与标准差，以及如何画和读直方图、频数多边形与累积频率曲线（ogive）。
需复习的核心概念
- 用组中点代替数值. 对分组数据，每次计算都用组中点作为整个组距的代表值。
- 累积频率曲线. 累积频率曲线让你读出中位数与四分位数，从而得到四分位距。
- 从表求标准差. 所给的分组公式用 Σfx 与 Σfx²。含这些列的清晰频数表，让计算几乎变成机械操作。
x̄ = Σfx / Σf
考试提供σ2 = Σf(x−x̄)2 / Σf = Σfx2/Σf − x̄2
考试提供σ = √Σf(x−x̄)2 / Σf = √Σfx2/Σf − x̄2
考试提供每个关键概念一个迷你例子
- 组中点代替数值：对于组别 160–170，组中点为 (160 + 170) ÷ 2 = 165。若有 9 名学生落在此组，该组对总和的贡献为 fx = 9 × 165 = 1485，就当作 9 人全部取值 165。
- 绘制累积频率曲线（ogive）：频率 4、9、12、5 得出累积频率 4、13、25、30。将每个累积频率对应上组界（160、170、180、190）描点，绝不用组中点。中位数落在第 n/2 = 30/2 = 15 个数值处，从累积频率轴上的 15 横读过去。
- 由表格求标准差：Σf = 30、Σfx = 5130、Σfx² = 879750，平均数为 5130 ÷ 30 = 171。方差 = 879750 ÷ 30 − 171² = 29325 − 29241 = 84，因此标准差 = √84 = 9.17。
分组离散度考前检查清单
- 重新推导，不要死记：反复练习把任何组别如 50–60 转成组中点 55 及组界 49.5 与 59.5（连续数据则为 50 与 60），直到成为反射动作，这项基本功支撑之后每一步计算。
- 清楚试卷提供什么：分组方差公式 σ² = Σfx²/Σf − x̄² 以及中位数内插公式都印在公式表上。你负责列表格，公式表负责给公式。
- 保住分数的习惯：先建好组中点 (x)、fx 和 fx² 三栏，并写出 Σf、Σfx、Σfx² 三个总和，再动用公式。从标好的总和代入，能避开最常见的算术失误。
- 画累积频率曲线前：选一个能填满方格的比例尺，把累积频率对应上组界描点，再用一条平滑曲线连接，挤成一团或折线状的曲线会悄悄丢掉中位数和四分位数的分。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
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常见问题
我该怎样安排频率表，让公式几乎自动填好？
在给定的表格上加三栏：组中点 x，然后 fx，再来 fx²。每一栏求总和，得到 Σf、Σfx 和 Σfx²。
平均数就是 Σfx ÷ Σf，方差就是 Σfx² ÷ Σf 减去平均数的平方。总和整齐地列在标好名称的栏目下，你只需把它们直接读进公式即可，几乎不必再动脑筋。
分组方差公式需要背吗，还是考卷会给？
方差和标准差公式都印在 SPM 公式表上，所以不必背。真正要练的是前置步骤：算组中点、填 fx 和 fx² 栏、干净利落地代入。
公式是现成给你的，分数在于你能否准确地使用它。与其死记公式，不如把列表和代入练到熟。
我从分组数据算出的平均数是精确的平均数吗？
不是，它是一个估计值。分组会丢掉每个个别数值，所以你用组中点代替整组，并假设组内每个成员都取这个值。
结果接近但很少等于原始数据的真正平均数。SPM 接受这个组中点估计值作为满分答案，因此题目常用『估计』一词。