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分组数据的离散量度 · 中五

分组数据的离散量度：练习题

分组数据的离散量度 的原创 SPM 风格练习题，每题附完整解答，试卷一选择题与试卷二结构题。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

分组数据的离散量度 的原创练习题，仿 数学试卷一（客观题） 与 数学试卷二（主观题） 的风格。每题都有解答，方便你检查方法而不只是结果。

选择题（试卷一风格）

题 1

某分组数据的组距为 20 – 29。此组的中点是多少？

  1. A. 24
  2. B. 24.5
  3. C. 25
  4. D. 29

题 2

某分组数据的频率为：10–19 (5)、20–29 (8)、30–39 (12)、40–49 (7)。哪一组是众数组？

  1. A. 10 – 19
  2. B. 20 – 29
  3. C. 30 – 39
  4. D. 40 – 49

题 3

某分组数据的中点为 2、5、8，对应频率分别为 4、6、10。估计其平均值。

  1. A. 5.0
  2. B. 5.5
  3. C. 5.9
  4. D. 6.0

题 4

某分组数据的频率为：0–9 (5)、10–19 (9)、20–29 (11)、30–39 (7)。中位数落在哪一组？

  1. A. 0 – 9
  2. B. 10 – 19
  3. C. 20 – 29
  4. D. 30 – 39

题 5

一组 40 个数据画成累积频率曲线（ogif）。第一四分位数 Q₁ 应在哪个累积频率处读取？

  1. A. 10
  2. B. 20
  3. C. 30
  4. D. 40

题 6

某数据的第一四分位数为 24，第三四分位数为 41。求四分位距。

  1. A. 17
  2. B. 32.5
  3. C. 41
  4. D. 65

题 7

P 组的标准差为 3.2，Q 组的标准差为 6.8。哪个陈述正确？

  1. A. Q 组比 P 组更稳定
  2. B. P 组比 Q 组更稳定
  3. C. 两组的离散程度相同
  4. D. P 组比 Q 组更分散

题 8

某分组数据中，N = 10，Σfx = 50，Σfx² = 310。求标准差。

  1. A. √6 ≈ 2.45
  2. B. 6.00
  3. C. √31 ≈ 5.57
  4. D. 3.10

题 9

组 30 – 39 的上边界是多少？

  1. A. 39
  2. B. 39.5
  3. C. 40
  4. D. 34.5

题 10

一组 60 个数据显示在累积频率曲线（ogif）上。第三四分位数 Q₃ 应在哪个累积频率处读取？

  1. A. 15
  2. B. 30
  3. C. 45
  4. D. 60

结构题（试卷二风格）

题 1 (6 分)

下表显示 40 名学生完成一项任务所用的时间（分钟）。时间（分钟）：10–19 (4)、20–29 (7)、30–39 (10)、40–49 (12)、50–59 (7)。

(a) 写出众数组。[1 分] (b) 计算估计平均时间。

[3 分] (c) 确定中位数所在的组。[2 分]

  1. (a) 众数组是频率最高（12）的组，即 40–49。
  2. (b) 各组中点为 14.5、24.5、34.5、44.5、54.5。
  3. Σfx = 4×14.5 + 7×24.5 + 10×34.5 + 12×44.5 + 7×54.5 = 58 + 171.5 + 345 + 534 + 381.5 = 1490。
  4. Σf = 4 + 7 + 10 + 12 + 7 = 40，所以估计平均值 = 1490 ÷ 40 = 37.25 分钟。
  5. (c) 中位数位置 = N ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20。累积频率：4、11、21、33、40；第 20 位落在 30–39 组。

题 2 (6 分)

下表显示 20 名玩家在一场游戏中的得分。得分：0–4 (3)、5–9 (8)、10–14 (6)、15–19 (3)。

(a) 计算估计平均得分。[2 分] (b) 计算方差。

[3 分] (c) 由此求标准差。[1 分]

  1. 中点 x = 2、7、12、17；频率 f = 3、8、6、3；Σf = 20。
  2. (a) Σfx = 3×2 + 8×7 + 6×12 + 3×17 = 6 + 56 + 72 + 51 = 185，所以平均值 = 185 ÷ 20 = 9.25。
  3. (b) Σfx² = 3×2² + 8×7² + 6×12² + 3×17² = 12 + 392 + 864 + 867 = 2135。
  4. 方差 = Σfx² ÷ N − 平均值² = 2135 ÷ 20 − 9.25² = 106.75 − 85.5625 = 21.1875。
  5. (c) 标准差 = √21.1875 ≈ 4.60。

题 3 (6 分)

下表显示 50 个包裹的质量（kg）。质量（kg）：1–5 (6)、6–10 (10)、11–15 (14)、16–20 (12)、21–25 (8)。

(a) 写出各上边界处的累积频率。[2 分] (b) 利用累积频率（ogif），估计第一四分位数 Q₁ 和第三四分位数 Q₃。

[3 分] (c) 由此求四分位距。[1 分]

  1. (a) 上边界：5.5、10.5、15.5、20.5、25.5；累积频率：6、16、30、42、50。
  2. (b) Q₁ 位于 N ÷ 4 = 50 ÷ 4 = 12.5 的位置，落在 6–10 组（边界 5.5–10.5）。
  3. Q₁ = 5.5 + ((12.5 − 6) ÷ 10) × 5 = 5.5 + 3.25 = 8.75 kg。
  4. Q₃ 位于 3N ÷ 4 = 3 × 50 ÷ 4 = 37.5 的位置，落在 16–20 组（边界 15.5–20.5）。
  5. Q₃ = 15.5 + ((37.5 − 30) ÷ 12) × 5 = 15.5 + 3.125 = 18.625 kg。
  6. (c) 四分位距 = Q₃ − Q₁ = 18.625 − 8.75 = 9.875 kg。

题 4 (4 分)

某分组数据的各组中点为 3、8、13、18，频率为 4、k、6、2。估计平均值为 9。

(a) 写出关于 k 的方程。[2 分] (b) 由此求 k 的值。

[2 分]

  1. Σf = 4 + k + 6 + 2 = 12 + k；Σfx = 4×3 + k×8 + 6×13 + 2×18 = 12 + 8k + 78 + 36 = 126 + 8k。
  2. (a) 平均值 = Σfx ÷ Σf 得 (126 + 8k) ÷ (12 + k) = 9。
  3. (b) 126 + 8k = 9(12 + k) = 108 + 9k。
  4. 126 − 108 = 9k − 8k，所以 k = 18。验算：Σf = 30，Σfx = 270，平均值 = 270 ÷ 30 = 9。

资料来源:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)

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常见问题

这套分组数据离差量数练习题包含哪些内容？

这套练习题包括第一卷从次数分配表中读取方差与标准差的题目，以及第二卷先建立完整表格再计算分组数据离差量数的结构式题目。所有题目均为本网站原创练习，并非历届SPM试题。

为什么应该先作答再查看详解？

自己动手建立次数分配表并完成计算，能清楚看出哪一步（例如求中点值或计算离差平方）是你最容易出错的地方。若先看详解，只会看到最终数字，无法发现自己解法中需要修正的地方。

分组离差量数题常见的错误是什么？

学生在建立次数分配表时常误用组界而非中点值，这会影响之后所有的计算结果。应先仔细建好表格，逐栏对照详解核对，确认无误后才继续计算方差或标准差。

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