分组数据的离散量度 · 中五

分组数据的离散量度：试卷二作答指南

按题目的指示，通常是『准确到 2 位小数』或『3 位有效数字』。若没有说明，就给 3 或 4 位有效数字并保持一致。只在最后一步取舍；√84 取 3 位有效数字为 9.17。切勿先把平均数或各项总和取整，否则会累积误差。

会。第二卷为运算过程给方法分，所以答案正确但没有 fx 或 fx² 栏、也没有写公式那一行，通常只能拿到最后的答案分。一旦某个数字错了，就几乎全军覆没。把表格和代入后的公式都写出来，才能守住大部分分数。

对平均数和标准差而言，行得通。你仍旧取每一组自己的组中点，乘上频率，再把 fx 和 fx² 两栏加总；组距不等并不影响这一点。组距不等只在画直方图时才要紧，那时长条的高度要用频率密度，而不是原始频率。

分组数据的离散量度如何出现在数学试卷二（主观题）中，以及如何铺陈步骤以拿到每一分方法分。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

如何考查

试卷二给一张频数表，求平均值与标准差；或给数据画累积频率曲线，再从中读出中位数与四分位距。精心构建的表格与平滑、准确的曲线，就是分数所在。

数学试卷二（主观题）占 100 分，分数是给步骤的，不只是给答案。清楚写出每一行：写出公式或法则、代入数字，再化简。

若题目带单位，一路带到最后一行。

下表列出 30 名学生的身高（单位：cm）。组别 150 ≤ h < 160 有 4 人，160 ≤ h < 170 有 9 人，170 ≤ h < 180 有 12 人，180 ≤ h < 190 有 5 人。

试求 (a) 平均身高，及 (b) 身高的标准差。

写出法则并列出组中点：分组数据使用组中点 x = (下限 + 上限) ÷ 2，得 x = 155、165、175、185。
建立 fx 栏：fx = 4(155)、9(165)、12(175)、5(185) = 620、1485、2100、925；故 Σf = 30，Σfx = 5130。
(a) 平均数：x̄ = Σfx ÷ Σf = 5130 ÷ 30 = 171 cm。
建立 fx² 栏：fx² = 4(155²)、9(165²)、12(175²)、5(185²) = 96100、245025、367500、171125；故 Σfx² = 879750。
写出方差公式并代入：σ² = Σfx² ÷ Σf − x̄² = 879750 ÷ 30 − 171² = 29325 − 29241 = 84。
(b) 标准差：σ = √84 = 9.17 cm（3 位有效数字）。

如果同一组数据改为要求用累积频率曲线（或用内插法）求中位数和四分位距，那么累积频率 4、13、25、30 就是运算的关键。

中位数位置 n/2 = 30/2 = 15，落在组别 170–180（累积频率在此越过 15）：中位数 = 170 + [(15 − 13)/12] × 10 = 171.7 cm。
下四分位数位置 n/4 = 7.5，落在组别 160–170：Q1 = 160 + [(7.5 − 4)/9] × 10 = 163.9 cm。
上四分位数位置 3n/4 = 22.5，落在组别 170–180：Q3 = 170 + [(22.5 − 13)/12] × 10 = 177.9 cm。
四分位距 = Q3 − Q1 = 177.9 − 163.9 = 14.0 cm。

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标准差该给几位小数或几位有效数字？

按题目的指示，通常是『准确到 2 位小数』或『3 位有效数字』。若没有说明，就给 3 或 4 位有效数字并保持一致。

只在最后一步取舍；√84 取 3 位有效数字为 9.17。切勿先把平均数或各项总和取整，否则会累积误差。

如果我跳过 fx² 栏，直接写最后答案，会扣分吗？

会。第二卷为运算过程给方法分，所以答案正确但没有 fx 或 fx² 栏、也没有写公式那一行，通常只能拿到最后的答案分。

一旦某个数字错了，就几乎全军覆没。把表格和代入后的公式都写出来，才能守住大部分分数。

如果各组的组距不相等，这套求平均数的方法还行得通吗？

对平均数和标准差而言，行得通。你仍旧取每一组自己的组中点，乘上频率，再把 fx 和 fx² 两栏加总；组距不等并不影响这一点。

组距不等只在画直方图时才要紧，那时长条的高度要用频率密度，而不是原始频率。