分组数据的离散量度 · 中五
分组数据的离散量度：常见错误
在 分组数据的离散量度 中悄悄丢分的错误，以及在 SPM 考试中如何逐一避开。
以我们教 分组数据的离散量度 的经验，大多数失分来自少数反复出现的小错，而非不理解。以下就是这些错误及其纠正。
要避开的错误
- 该用组中点时用了组界（或相反）
- 把累积频率曲线画在错误的 x 值上
- 从仓促、不平滑的曲线上读中位数
另外七个悄悄扣分的失误
- 学生常写：Σfx² = (Σfx)² = 5130²。→ 为何扣分：这是把总和整体平方，而不是把每个 f × x² 相加，方差因此毫无意义。→ 正确做法：先把每个组中点平方，乘上其频率，再相加：Σfx² = 4(155²) + 9(165²) + 12(175²) + 5(185²) = 879750。
- 学生常写：方差 = 84，所以标准差 = 84。→ 为何扣分：方差的单位是平方单位；标准差是它的平方根。→ 正确做法：标准差 = √84 = 9.17。
- 学生常写：中位数位置 = (n + 1)/2 = 31/2 = 15.5。→ 为何扣分：(n + 1)/2 是未分组数据的规则；分组数据要在 n/2 处读累积频率曲线。→ 正确做法：用 n/2 = 30/2 = 15，从 15 横读出中位数。
- 学生常写：众数组 = 12。→ 为何扣分：12 是频率，不是组别，不能当众数组。→ 正确做法：最高频率 12 属于区间 170–180，所以众数组是 170–180。
- 学生常写：中位数 = L + [(N/2 − F)/f] × c，其中 F 用了中位数组本身的频率。→ 为何扣分：F 必须是中位数组『之前』的累积频率，而不是该组的频率。→ 正确做法：取 F = 13，中位数 = 170 + [(15 − 13)/12] × 10 = 171.7。
- 学生常写：平均数 ≈ 171 ≈ 170，然后方差 = Σfx²/Σf − 170²。→ 为何扣分：在平方前先把平均数取整，会使方差和标准差偏移。→ 正确做法：保留精确的平均数 171，方差 = 29325 − 29241 = 84。
- 学生常写：四分位距 = Q1 − Q3。→ 为何扣分：顺序反了，得出负的离散度。→ 正确做法：四分位距 = Q3 − Q1，永远是上四分位数减下四分位数。
继续之前的30秒自我检查
写下最后答案前，做四项快速检查：(1) Σfx² 是由 f × x² 累加的，而不是 (Σfx)² 吗？(2) 你有没有把方差开方得到标准差？
(3) 众数组是一个区间，而不是频率吗？(4) 四分位距是 Q3 − Q1、是正数吗？
在这里抓住其中任何一项，就能保住上面七个失误悄悄夺走的分。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
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常见问题
我的标准差比平均数还大，是不是算错了？
不一定。标准差和平均数量度的是不同的东西，没有规定谁一定比较小。
当数据的值接近零或分布很广时，标准差可以超过平均数。请再核对 Σfx² 和开方那一步，但单凭数值大并不代表出错。
方差会不会是负的？根号里的数会不会变成负数？
不会。方差是各偏差平方的平均，所以永远是零或正数。
如果 Σfx²/Σf − x̄² 算出负数，那一定是算术错误，通常是 Σfx² 太小或平均数平方太大。开方之前，请先重新核算 fx² 那一栏，找出错在哪里。
同学用 Σf(x − x̄)²，我用 Σfx²/Σf − x̄²，为什么答案一样？
因为它们其实是同一条公式的不同写法。Σfx²/Σf − x̄² 是『偏差平方平均』的代数捷径，两者算出的方差完全相同。
捷径通常更快，因为不必逐个组中点减去平均数。考卷印哪一条就用哪一条，全程保持一致即可。